Obtenha o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar todos os pontos onde a função é contínua. A função dada é uma função por partes:
Vamos precisar entender o que é continuidade de uma função e verificar onde essa função não apresenta quebras ou saltos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua num ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Olha só, a função é definida por duas expressões diferentes dependendo de . Para , temos , que é uma função linear e, portanto, contínua em todo seu domínio. Para , temos , que é uma função constante e também contínua em todo seu domínio.

Passo 4

Agora, precisamos verificar o ponto onde a definição da função muda, ou seja, em . É nesse ponto que pode haver uma descontinuidade, então vamos analisar:
  1. Valor da função em 1:
  1. Limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
  1. Limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ):

Passo 5

Agora, vamos comparar os limites e o valor da função em 1:
  • O limite pela esquerda é 2.
  • O limite pela direita é 1.
  • O valor da função em 1 é 2.
Como , a função não é contínua em .

Resposta

A função é contínua em todos os reais, exceto em . Ou seja, o conjunto dos pontos de continuidade é:

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Calcule a integral ao longo de (orientada no sentido anti-horário). é a fronteira do triângulo de vértices e
Determine os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções:
Obtenha o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
(b)
Calcule a integral indefinida.