Obtenha o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar todos os pontos onde a função
é contínua. A função dada é uma função por partes:
Vamos precisar entender o que é continuidade de uma função e verificar onde essa função não apresenta quebras ou saltos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua num ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem satisfeitas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Olha só, a função
é definida por duas expressões diferentes dependendo de
. Para
, temos
, que é uma função linear e, portanto, contínua em todo seu domínio. Para
, temos
, que é uma função constante e também contínua em todo seu domínio.
Passo 4
Agora, precisamos verificar o ponto onde a definição da função muda, ou seja, em
. É nesse ponto que pode haver uma descontinuidade, então vamos analisar:
- Valor da função em 1:
- Limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
- Limite quando
se aproxima de 1 pela direita ( ):
Passo 5
Agora, vamos comparar os limites e o valor da função em 1:
- O limite pela esquerda é 2.
- O limite pela direita é 1.
- O valor da função em 1 é 2.
Como
, a função não é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em todos os reais, exceto em
. Ou seja, o conjunto dos pontos de continuidade é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral ao longo de
(orientada no sentido anti-horário).
é a fronteira do triângulo de vértices
e
Determine os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções:
Obtenha o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
(b)
(b)
Calcule a integral indefinida.