Obtenha o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos de continuidade da função dada. O assunto aqui é continuidade de funções, que é sobre saber onde uma função não tem “saltos” ou “quebras”. Para resolver, a gente vai precisar analisar a função nos diferentes pedaços dela e ver onde ela é contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função:
Essa função tem dois pedaços: para valores de
menores ou iguais a 2, a função é constante igual a 1. Para valores de
maiores que 2, a função é igual a
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade em cada intervalo separado:
-
Para
: - A função é constante (
), e funções constantes são contínuas em todo o seu domínio. Então, nesse intervalo, a função é contínua.
- A função é constante (
-
Para
: - A função é
, que é uma função linear. Funções lineares são contínuas em todo o seu domínio. Portanto, nesse intervalo, a função também é contínua.
- A função é
Passo 4
O ponto crítico é em
, onde a definição da função muda. Para a função ser contínua em
, o limite pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e também igual ao valor da função nesse ponto.
-
Valor da função em
:
-
Limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
-
Limite quando
se aproxima de 2 pela direita ( ):
Passo 5
Comparando os limites e o valor da função:
Como os limites pela esquerda e direita são diferentes (
), a função apresenta um salto em
, ou seja, não é contínua nesse ponto.
Resposta
O conjunto dos pontos de continuidade da função
é todo o conjunto dos números reais, exceto
. Ou seja:
Exercícios relacionados
Obtenha o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
(a)
(a)
Calcule a integral ao longo de
(orientada no sentido anti-horário).
é a fronteira do triângulo de vértices
e
Calcule a integral indefinida.
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.