Obtenha o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos de continuidade da função dada. O assunto aqui é continuidade de funções, que é sobre saber onde uma função não tem “saltos” ou “quebras”. Para resolver, a gente vai precisar analisar a função nos diferentes pedaços dela e ver onde ela é contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função:
Essa função tem dois pedaços: para valores de menores ou iguais a 2, a função é constante igual a 1. Para valores de maiores que 2, a função é igual a .

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade em cada intervalo separado:
  1. Para :
    • A função é constante ( ), e funções constantes são contínuas em todo o seu domínio. Então, nesse intervalo, a função é contínua.
  2. Para :
    • A função é , que é uma função linear. Funções lineares são contínuas em todo o seu domínio. Portanto, nesse intervalo, a função também é contínua.

Passo 4

O ponto crítico é em , onde a definição da função muda. Para a função ser contínua em , o limite pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e também igual ao valor da função nesse ponto.
  • Valor da função em :
  • Limite quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
  • Limite quando se aproxima de 2 pela direita ( ):

Passo 5

Comparando os limites e o valor da função:
Como os limites pela esquerda e direita são diferentes ( ), a função apresenta um salto em , ou seja, não é contínua nesse ponto.

Resposta

O conjunto dos pontos de continuidade da função é todo o conjunto dos números reais, exceto . Ou seja:

Exercícios relacionados

Obtenha o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
(a)
Calcule a integral ao longo de (orientada no sentido anti-horário). é a fronteira do triângulo de vértices e
Calcule a integral indefinida.
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.