Encontre a derivada da função.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida como uma integral com limites que dependem de :
Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função em relação a . Para isso, vamos utilizar a Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis.

Passo 2

A Regra de Leibniz nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limites superiores e inferiores que são funções de , a derivada dessa função é dada pela função integrando avaliada nos limites, multiplicada pelas derivadas desses limites em relação a . A fórmula fica assim:
onde:
  • é o limite inferior,
  • é o limite superior,
  • é a função dentro da integral.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso:
  • A função dentro da integral é .
  • O limite inferior é .
  • O limite superior é .
Agora, vamos calcular as derivadas dos limites em relação a :

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula da Regra de Leibniz:

Resposta

A derivada da função é:

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