Encontre a derivada da função. F(x)=integralraizx^2 x arctg t d t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida como uma integral com limites que dependem de F(x) = integralraizx^2x arctan(t) , dt :
Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função em relação a . Para isso, vamos utilizar a Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis.

Passo 2

A Regra de Leibniz nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limites superiores e inferiores que são funções de F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) , a derivada dessa função é dada pela função integrando avaliada nos limites, multiplicada pelas derivadas desses limites em relação a . A fórmula fica assim:
onde:
  • é o limite inferior,
  • é o limite superior,
  • é a função dentro da integral.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso:
  • A função dentro da integral é b'(x) = ddx(2x) = 2 .
  • O limite inferior é a'(x) = ddx(raizx) = 12raizx .
  • O limite superior é .
Agora, vamos calcular as derivadas dos limites em relação a :

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula da Regra de Leibniz:
F'(x) = arctan(2x) cdot 2 - arctan(raizx) cdot 12raizx

Resposta

A derivada da função F'(x) = 2, arctan(2x) - arctan(raizx)2raizx é:

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