Calcule a integral indefinida.
integral tan (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral indefinida de tan(x). Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a relação entre as funções seno, cosseno e tangente, além de usar técnicas de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que tan(x) pode ser escrita como sin(x)cos(x). Então, nossa integral fica:
integral tan(x) , dx = integral sin(x)cos(x) , dx

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar u de cos(x). Assim:
u = cos(x)
Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = -sin(x) Rightarrow du = -sin(x) , dx
Isso significa que sin(x) , dx = -du.

Passo 4

Vamos substituir u e du na nossa integral:
integral sin(x)cos(x) , dx = integral -duu = -integral 1u , du
A integral de 1u em relação a u é ln|u|, então:
-integral 1u , du = -ln|u| + C

Passo 5

Agora, vamos voltar para a variável original substituindo u por cos(x):
-ln|cos(x)| + C
Como ln|sec(x)| = -ln|cos(x)|, também podemos escrever a resposta como:
ln|sec(x)| + C

Resposta

A integral indefinida de tan(x) , dx é -ln|cos(x)| + C ou, equivalentemente, ln|sec(x)| + C.

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