Uma partícula de massa esta presa em uma caixa e possui sua funçāo de onda dada por:
onde são constantes e é uma constante de normalizaçõo. A função é dita normalizada quando satisfaz a equaçāo .
Determine (em função dos parâmetros e ) em de forma que a equação seja normalizada. (1.5 pontos)
Dica: , para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula presa em uma caixa tridimensional, e a gente precisa encontrar a constante de normalização para a função de onda . O conteúdo aqui envolve funções de onda na mecânica quântica e o conceito de normalização. Para resolver, vamos precisar usar integrais triplas e algumas identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a condição de normalização que nos é dada:
Substituindo na equação:
Passo 3
Vamos expandir o quadrado da função de onda:
Passo 4
Agora, vamos usar a identidade trigonométrica fornecida na dica:
Aplicando isso em cada termo de seno:
E similarmente para e .
Passo 5
Substituindo as identidades na integral:
Passo 6
Para simplificar, notamos que, ao integrar termos com cossenos em limites múltiplos de , essas integrais resultam em zero. Assim, apenas o termo constante vai contribuir.
Então, a integral simplifica para:
Aqui, , , e são os limites das integrais em , , e respectivamente.
Passo 7
Agora, resolvemos para :
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :