Uma partícula de massa esta presa em uma caixa e possui sua funçāo de onda dada por:
onde nx, ny, nz in N, a, b, c são constantes e K é uma constante de normalizaçõo. A função Psi é dita normalizada quando satisfaz a equaçāo integral triplaB Psi^2 d x d y d z=1.
Determine K (em função dos parâmetros a, b e c ) em Psi de forma que a equação Psi seja normalizada. (1.5 pontos)
Dica: sin ^2(d x)=12-cos (2 d x)2, para d in R
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula presa em uma caixa tridimensional, e a gente precisa encontrar a constante de normalização para a função de onda . O conteúdo aqui envolve funções de onda na mecânica quântica e o conceito de normalização. Para resolver, vamos precisar usar integrais triplas e algumas identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a condição de normalização que nos é dada:
integral triplaB Psi^2 , dx , dy , dz = 1
Substituindo integral triplaB [ K sin(nx pi xa) sin(ny pi yb) sin(nz pi zc) ]^2 , dx , dy , dz = 1 na equação:
Passo 3
Vamos expandir o quadrado da função de onda:
K^2 integral triplaB sin^2(nx pi xa) sin^2(ny pi yb) sin^2(nz pi zc) , dx , dy , dz = 1
Passo 4
Agora, vamos usar a identidade trigonométrica fornecida na dica:
sin^2(d) = 12 - cos(2d)2
Aplicando isso em cada termo de seno:
sin^2(nx pi xa) = 12 - cos(2nx pi xa)2
E similarmente para e .
Passo 5
Substituindo as identidades na integral:
K^2 integral triplaB ( 12 - cos(2nx pi xa)2 ) ( 12 - cos(2ny pi yb)2 ) ( 12 - cos(2nz pi zc)2 ) , dx , dy , dz = 1
Passo 6
Para simplificar, notamos que, ao integrar termos com cossenos em limites múltiplos de K^2 times 18 times a times b times c = 1 , essas integrais resultam em zero. Assim, apenas o termo constante vai contribuir.
Então, a integral simplifica para:
Aqui, , , e são os limites das integrais em , , e respectivamente.
Passo 7
Agora, resolvemos para K^2 = 8a b c :
K = raiz8a b c
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :
Resposta
A constante de normalização K = raiz8a b c é dada por: