Calcule a integral indefinida.
integral y^2 e^y^3 d y

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida . Esse exercício pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente utilizando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão u = y^3 está no expoente de , e sua derivada com relação a é . Isso sugere que podemos usar a substituição. Vamos definir:

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de dudy = 3y^2 em relação a du = 3y^2 , dy :
Rearranjando, temos:

Passo 4

Queremos expressar y^2 , dy = du3 em termos de . Dividindo ambos os lados da equação anterior por 3:

Passo 5

Substituímos integral y^2 e^y^3 , dy = integral e^u cdot du3 e na integral original:

Passo 6

A integral agora fica mais simples:
integral e^u3 , du = 13 integral e^u , du

Passo 7

Integrando 13 e^u + C em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 8

Finalmente, substituímos 13 e^y^3 + C de volta para :

Resposta

integral y^2 e^y^3 , dy = 13 e^y^3 + C

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