Calcule a integral

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar um conteúdo de trigonometria e cálculo, especificamente uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar o integrando. Vamos precisar entender como usar essa identidade para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que transforma em uma forma mais fácil de integrar. A identidade que vamos usar é:
Essa identidade é útil porque transforma o quadrado do seno em uma expressão que envolve apenas o cosseno de , que é mais simples de integrar.

Passo 3

Agora, vamos substituir pela sua equivalência na identidade que usamos:
Isso simplifica a nossa integral para algo que é mais fácil de resolver.

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Agora, cada parte pode ser integrada separadamente.

Passo 5

Vamos integrar cada termo:
  1. Para :
  1. Para :
Primeiro, vamos lembrar que a integral de é . Aqui, , então:

Passo 6

Agora, juntamos os resultados das integrais:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de é:

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Calcule a Integral fazendo a substituição dada.
Calcule a integral indefinida.