Calcule a integral indefinida:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
. Para isso, vamos usar a técnica de substituição e algumas identidades trigonométricas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, identificamos uma parte da integral que pode ser substituída para facilitar a resolução. Observamos que a expressão dentro do seno é
. Vamos chamar essa expressão de
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Perceba que
aparece exatamente na nossa integral original, o que é perfeito para a substituição.
Passo 4
Substituímos
e
na integral:
Agora, a integral está em termos de
, o que simplifica bastante a nossa vida.
Passo 5
Precisamos agora integrar
. Para isso, utilizamos uma identidade trigonométrica que expressa
em termos de múltiplos de cosseno:
Isso vai facilitar a integração.
Passo 6
Substituímos a identidade na nossa integral:
Passo 7
Agora, integramos cada termo separadamente:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 8
Agora, somamos os resultados das integrais:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 9
Por fim, substituímos
de volta para termos em
:
Resposta
Portanto, a integral é:
Exercícios relacionados
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Uma lata cilíndrica fechada tem capacidade de 1 litro. Mostre que a lata de área mínima é obtida quando a altura do cilindro for igual ao diâmetro da base.
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;