Calcule a integral indefinida: integral 2 x sen^4(x^2-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral 2x sin^4(x^2-1) dx. Para isso, vamos usar a técnica de substituição e algumas identidades trigonométricas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, identificamos uma parte da integral que pode ser substituída para facilitar a resolução. Observamos que a expressão dentro do seno é x^2 - 1. Vamos chamar essa expressão de u:
u = x^2 - 1

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = 2x implies du = 2x,dx
Perceba que 2x,dx aparece exatamente na nossa integral original, o que é perfeito para a substituição.

Passo 4

Substituímos u e du na integral:
integral 2x sin^4(x^2-1) dx = integral sin^4(u), du
Agora, a integral está em termos de u, o que simplifica bastante a nossa vida.

Passo 5

Precisamos agora integrar sin^4(u). Para isso, utilizamos uma identidade trigonométrica que expressa sin^4(u) em termos de múltiplos de cosseno:
sin^4(u) = 38 - 12cos(2u) + 18cos(4u)
Isso vai facilitar a integração.

Passo 6

Substituímos a identidade na nossa integral:
integral sin^4(u), du = integral ( 38 - 12cos(2u) + 18cos(4u) ) du

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
  1. Para 38:
    integral 38 , du = 38u
  2. Para -12cos(2u):
    integral -12cos(2u) , du = -12 cdot sin(2u)2 = -sin(2u)4
  3. Para 18cos(4u):
    integral 18cos(4u) , du = 18 cdot sin(4u)4 = sin(4u)32

Passo 8

Agora, somamos os resultados das integrais:
38u - sin(2u)4 + sin(4u)32 + C
Aqui, C é a constante de integração.

Passo 9

Por fim, substituímos u de volta para termos em x:
38(x^2 - 1) - sin(2(x^2 - 1))4 + sin(4(x^2 - 1))32 + C

Resposta

Portanto, a integral é:
integral 2x sin^4(x^2-1) dx = 38(x^2 - 1) - sin(2x^2 - 2)4 + sin(4x^2 - 4)32 + C

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Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
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Uma lata cilíndrica fechada tem capacidade de 1 litro. Mostre que a lata de área mínima é obtida quando a altura do cilindro for igual ao diâmetro da base.
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b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
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a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
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