Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = raiz(3) x - 2 cos(x), 0 <= x <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para analisar a função no intervalo de a . Vamos usar cálculo diferencial para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, esboçar o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada primeira da função em relação a . A derivada nos ajuda a identificar onde a função está crescendo ou decrescendo e onde estão os pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe).
A função dada é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Estes são os valores de onde a derivada primeira é igual a zero ou não existe. Como nossa derivada é contínua, vamos igualá-la a zero:
Sabemos que ocorre nos ângulos:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da derivada primeira :
  • Crescimento: quando
  • Decrescimento: quando
Sabemos que varia entre -1 e 1. Vamos verificar os intervalos determinados pelos pontos críticos e :
  1. Intervalo :
    • → Função está crescente
  2. Intervalo :
    • → Função está decrescente
  3. Intervalo :
    • → Função está crescente

Passo 5

Vamos agora identificar os máximos e mínimos locais. Esses ocorrem nos pontos críticos onde a função muda de crescente para decrescente (máximo) ou de decrescente para crescente (mínimo).
  • Em :
    • A função muda de crescente para decrescenteMáximo Local
  • Em :
    • A função muda de decrescente para crescenteMínimo Local

Passo 6

Para analisar a concavidade e encontrar os pontos de inflexão, precisamos calcular a derivada segunda da função.
Primeira derivada:
Derivando novamente:
  • Concavidade para cima: quando (cos x > 0)
  • Concavidade para baixo: quando (cos x < 0)
Os pontos onde a concavidade muda são os pontos de inflexão, encontrados onde :

Passo 7

Finalmente, vamos esboçar o gráfico da função no intervalo de a .
  1. Pontos Críticos:
    • Máximo em
    • Mínimo em
  2. Intervalos de Crescimento:
  3. Intervalos de Decrescimento:
  4. Concavidade:
    • Para e : Concava para cima
    • Para : Concava para baixo
  5. Pontos de Inflexão:
Com todas essas informações, podemos desenhar o gráfico da função mostrando onde ela cresce, decresce, suas máximas e mínimas, e onde muda a concavidade.

Resposta

A análise completa da função no intervalo de a revela:
a) Pontos Críticos: e
b) Intervalos de Crescimento: e
Intervalos de Decrescimento:
c) Máximos e Mínimos Locais:
  • Máximo em
  • Mínimo em
d) Concavidade:
  • Concava para cima em e
  • Concava para baixo em
e) Pontos de Inflexão: e
f) Esboço do Gráfico: [Descrição do gráfico baseada nas análises acima]

Exercícios relacionados

Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = x^2 - 4x + 3
Calcule a integral indefinida: integral 2 x sen^4(x^2-1) d x
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = -2 x^3 + 6 x^2 - 3
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = cos(x) sen(x), 0 <= x <= pi