Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para analisar a função
no intervalo de
a
. Vamos usar cálculo diferencial para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e, por fim, esboçar o gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada primeira da função
em relação a
. A derivada nos ajuda a identificar onde a função está crescendo ou decrescendo e onde estão os pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe).
A função dada é:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Estes são os valores de
onde a derivada primeira é igual a zero ou não existe. Como nossa derivada é contínua, vamos igualá-la a zero:
Sabemos que
ocorre nos ângulos:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da derivada primeira
:
- Crescimento: quando
- Decrescimento: quando
Sabemos que
varia entre -1 e 1. Vamos verificar os intervalos determinados pelos pontos críticos
e
:
-
Intervalo
: -
-
→ Função está crescente
-
-
Intervalo
: -
-
→ Função está decrescente
-
-
Intervalo
: -
-
→ Função está crescente
-
Passo 5
Vamos agora identificar os máximos e mínimos locais. Esses ocorrem nos pontos críticos onde a função muda de crescente para decrescente (máximo) ou de decrescente para crescente (mínimo).
-
Em
: - A função muda de crescente para decrescente → Máximo Local
-
Em
: - A função muda de decrescente para crescente → Mínimo Local
Passo 6
Para analisar a concavidade e encontrar os pontos de inflexão, precisamos calcular a derivada segunda da função.
Primeira derivada:
Derivando novamente:
- Concavidade para cima: quando
(cos x > 0) - Concavidade para baixo: quando
(cos x < 0)
Os pontos onde a concavidade muda são os pontos de inflexão, encontrados onde
:
Passo 7
Finalmente, vamos esboçar o gráfico da função
no intervalo de
a
.
-
Pontos Críticos:
- Máximo em
- Mínimo em
- Máximo em
-
Intervalos de Crescimento:
-
-
Intervalos de Decrescimento:
-
-
Concavidade:
- Para
e : Concava para cima - Para
: Concava para baixo
- Para
-
Pontos de Inflexão:
-
Com todas essas informações, podemos desenhar o gráfico da função mostrando onde ela cresce, decresce, suas máximas e mínimas, e onde muda a concavidade.
Resposta
A análise completa da função
no intervalo de
a
revela:
a) Pontos Críticos:
e
b) Intervalos de Crescimento:
e
Intervalos de Decrescimento:
c) Máximos e Mínimos Locais:
- Máximo em
- Mínimo em
d) Concavidade:
- Concava para cima em
e - Concava para baixo em
e) Pontos de Inflexão:
e
f) Esboço do Gráfico: [Descrição do gráfico baseada nas análises acima]
Exercícios relacionados
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Calcule a integral indefinida:
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;