Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = x^2 - 4x + 3

Passo 1

Vamos resolver a função . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, especificamente derivadas para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função para identificar os pontos críticos. A derivada nos mostra a taxa de variação da função.

Passo 3

Agora, encontramos os pontos críticos onde a derivada é igual a zero.
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, analisamos o sinal da derivada:
  • Se , a função está crescendo.
  • Se , a função está decrescendo.
Vamos dividir a reta real em intervalos baseados no ponto crítico :
  1. Para :
    Se , (negativo).
    Então, está decrescendo nesse intervalo.
  2. Para :
    Se , (positivo).
    Então, está crescendo nesse intervalo.

Passo 5

Identificamos agora os pontos de máximo e mínimo locais. Como a função muda de decrescente para crescente em , temos um mínimo local nesse ponto.
Para encontrar o valor de no ponto crítico:
Então, temos um mínimo local em .

Passo 6

Vamos analisar a concavidade da função. Para isso, calculamos a segunda derivada:
Como , a função é côncava para cima em todo o domínio.

Passo 7

Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Como é sempre positivo, não há pontos de inflexão nessa função.

Passo 8

Finalmente, esboçamos o gráfico. Sabemos que a função é uma parábola côncava para cima, com um mínimo em . Além disso, podemos encontrar as interseções com os eixos:
  • Interseção com o eixo y ( ):
    Então, o ponto é .
  • Interseções com o eixo x (resolver ):
    Então, e .
Portanto, os pontos são e .

Resposta

A função possui:
a) Ponto crítico em ;
b) Cresce para e decresce para ;
c) Mínimo local em ;
d) Concavidade para cima;
e) Não possui pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico é uma parábola com vértice em , interseções com os eixos em , e .

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Calcule a integral indefinida: integral 2 x sen^4(x^2-1) d x
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = (x - 3)^3 + 1
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = raiz(3) x - 2 cos(x), 0 <= x <= 2 pi
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = -2 x^3 + 6 x^2 - 3