Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Passo 1
Vamos resolver a função
. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, especificamente derivadas para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função para identificar os pontos críticos. A derivada nos mostra a taxa de variação da função.
Passo 3
Agora, encontramos os pontos críticos onde a derivada é igual a zero.
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, analisamos o sinal da derivada:
- Se
, a função está crescendo. - Se
, a função está decrescendo.
Vamos dividir a reta real em intervalos baseados no ponto crítico
:
-
Para
: Se, (negativo).
Então,está decrescendo nesse intervalo. -
Para
:
Se, (positivo).
Então,está crescendo nesse intervalo.
Passo 5
Identificamos agora os pontos de máximo e mínimo locais. Como a função muda de decrescente para crescente em
, temos um mínimo local nesse ponto.
Para encontrar o valor de
no ponto crítico:
Então, temos um mínimo local em
.
Passo 6
Vamos analisar a concavidade da função. Para isso, calculamos a segunda derivada:
Como
, a função é côncava para cima em todo o domínio.
Passo 7
Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Como
é sempre positivo, não há pontos de inflexão nessa função.
Passo 8
Finalmente, esboçamos o gráfico. Sabemos que a função é uma parábola côncava para cima, com um mínimo em
. Além disso, podemos encontrar as interseções com os eixos:
-
Interseção com o eixo y (
): Então, o ponto é. -
Interseções com o eixo x (resolver
): Então,e .
Portanto, os pontos são
e
.
Resposta
A função
possui:
a) Ponto crítico em ;
b) Cresce para e decresce para
;
c) Mínimo local em ;
d) Concavidade para cima;
e) Não possui pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico é uma parábola com vértice em , interseções com os eixos em
,
e
.
a) Ponto crítico em
b) Cresce para
c) Mínimo local em
d) Concavidade para cima;
e) Não possui pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico é uma parábola com vértice em
Exercícios relacionados
Calcule a integral indefinida:
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;