Calcule o jacobiano da mudança de coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para calcular o jacobiano da mudança de coordenadas esféricas. Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, mais especificamente na transformação de coordenadas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como as coordenadas cartesianas se transformam em coordenadas esféricas e aplicar o conceito de determinante de matrizes para encontrar o jacobiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a transformação das coordenadas cartesianas para as coordenadas esféricas . As fórmulas são:
Aqui, é a distância do ponto até a origem, é o ângulo no plano (longitude) e é o ângulo com o eixo (colatitude).

Passo 3

Agora, para encontrar o jacobiano, precisamos calcular a matriz Jacobiana dessa transformação. Isso significa que vamos derivar cada uma das coordenadas cartesianas em relação às coordenadas esféricas. A matriz Jacobiana será:

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:

Passo 5

Com essas derivadas, a matriz Jacobiana fica assim:

Passo 6

Agora, para encontrar o jacobiano, que é o determinante dessa matriz, vamos calcular o determinante de :
Esse resultado mostra como os elementos de volume se transformam quando mudamos de coordenadas cartesianas para esféricas.

Resposta

O jacobiano da mudança de coordenadas esféricas é:

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