Calcule o jacobiano da mudança de coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para calcular o jacobiano da mudança de coordenadas esféricas. Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, mais especificamente na transformação de coordenadas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como as coordenadas cartesianas se transformam em coordenadas esféricas e aplicar o conceito de determinante de matrizes para encontrar o jacobiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a transformação das coordenadas cartesianas para as coordenadas esféricas . As fórmulas são:
Aqui, é a distância do ponto até a origem, é o ângulo no plano (longitude) e é o ângulo com o eixo (colatitude).
Passo 3
Agora, para encontrar o jacobiano, precisamos calcular a matriz Jacobiana dessa transformação. Isso significa que vamos derivar cada uma das coordenadas cartesianas em relação às coordenadas esféricas. A matriz Jacobiana será:
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial:
Passo 5
Com essas derivadas, a matriz Jacobiana fica assim:
Passo 6
Agora, para encontrar o jacobiano, que é o determinante dessa matriz, vamos calcular o determinante de :
Esse resultado mostra como os elementos de volume se transformam quando mudamos de coordenadas cartesianas para esféricas.
Resposta
O jacobiano da mudança de coordenadas esféricas é: