Nos itens abaixo encontre, o domínio da função, e a imagem da função. Feito isto, faça um estudo dos conjuntos de níveis, informando os nomes das curvas ou superfícies de níveis, caso sejam conhecidas, e fazendo um esboço da decomposição do domínio destes conjuntos de níveis. f(x, y) = x - y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função . O que a gente precisa fazer é:
  1. Encontrar o domínio da função, ou seja, todos os valores possíveis de x e y que a função pode aceitar.
  2. Encontrar a imagem da função, que são todos os possíveis valores que f(x, y) pode assumir.
  3. Estudar os conjuntos de níveis, o que significa identificar as curvas onde a função mantém um valor constante, reconhecer se elas têm nomes específicos e desenhar um esboço dessas curvas no domínio.
Vamos precisar entender o que são domínio, imagem e conjuntos de níveis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de x e y que a função está definida. Olhando para a nossa função , não temos nenhuma restrição como raízes quadradas ou divisões por zero que possam causar problemas. Então, x e y podem ser qualquer número real.

Passo 3

Agora, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que f(x, y) pode assumir. Já que e tanto x quanto y podem ser qualquer número real, a diferença entre dois números reais também pode ser qualquer número real. Então, a imagem também é todos os números reais.

Passo 4

Chegou a hora de olhar os conjuntos de níveis. Um conjunto de níveis é onde a função mantém um valor constante. Vamos chamar esse valor constante de c. Então, temos:
Essa equação representa uma reta no plano xy. Para cada valor de c, temos uma reta paralela à reta (que passa pela origem). Essas retas são inclinadas a 45 graus, porque a equação pode ser rearranjada para .

Passo 5

Agora, vamos desenhar um esboço da decomposição do domínio por essas retas de nível. Imagine o plano xy com várias retas inclinadas a 45 graus, cada uma representando um valor diferente de c. Essas retas dividem o plano em regiões onde a função tem valores diferentes.

Resposta

  • Domínio: Todos os números reais, ou seja, x em R e y in R.
  • Imagem: Todos os números reais, .
  • Conjuntos de níveis: São retas da forma , onde c é uma constante. Essas retas são paralelas entre si e inclinadas a 45 graus no plano xy.

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