Nos itens abaixo encontre, o domínio da função, e a imagem da função. Feito isto, faça um estudo dos conjuntos de níveis, informando os nomes das curvas ou superfícies de níveis, caso sejam conhecidas, e fazendo um esboço da decomposição do domínio destes conjuntos de níveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
. O que a gente precisa fazer é:
- Encontrar o domínio da função, ou seja, todos os valores possíveis de
e que a função pode aceitar. - Encontrar a imagem da função, que são todos os possíveis valores que
pode assumir. - Estudar os conjuntos de níveis, o que significa identificar as curvas onde a função mantém um valor constante, reconhecer se elas têm nomes específicos e desenhar um esboço dessas curvas no domínio.
Vamos precisar entender o que são domínio, imagem e conjuntos de níveis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de
e
que a função está definida. Olhando para a nossa função
, não temos nenhuma restrição como raízes quadradas ou divisões por zero que possam causar problemas. Então,
e
podem ser qualquer número real.
Passo 3
Agora, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Já que
e tanto
quanto
podem ser qualquer número real, a diferença entre dois números reais também pode ser qualquer número real. Então, a imagem também é todos os números reais.
Passo 4
Chegou a hora de olhar os conjuntos de níveis. Um conjunto de níveis é onde a função mantém um valor constante. Vamos chamar esse valor constante de
. Então, temos:
Essa equação representa uma reta no plano
. Para cada valor de
, temos uma reta paralela à reta
(que passa pela origem). Essas retas são inclinadas a 45 graus, porque a equação pode ser rearranjada para
.
Passo 5
Agora, vamos desenhar um esboço da decomposição do domínio por essas retas de nível. Imagine o plano
com várias retas inclinadas a 45 graus, cada uma representando um valor diferente de
. Essas retas dividem o plano em regiões onde a função tem valores diferentes.
Resposta
- Domínio: Todos os números reais, ou seja,
e . - Imagem: Todos os números reais,
. - Conjuntos de níveis: São retas da forma
, onde é uma constante. Essas retas são paralelas entre si e inclinadas a 45 graus no plano .