Calcule a integral indefinida.
integral 2 y^3 raiz1+3 y^4 d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . O conteúdo que vamos usar aqui é a técnica de substituição para integrar funções mais complicadas. Precisamos encontrar uma parte da função para substituir por uma variável nova, simplificando a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Vamos definir:
u = 1 + 3 y^4
Agora, precisamos encontrar a derivada de dudy = 12 y^3 em relação a du = 12 y^3 , dy :
y^3 , dy = du12
Isso significa que:
2 y^3 , dy = 212 , du = 16 , du
Queremos expressar em termos de :
Mas na nossa integral temos , então multiplicamos ambos os lados por 2:

Passo 3

Agora, substituímos integral 2 y^3 raiz1+3 y^4 , dy = integral raizu cdot 16 , du e 16 integral raizu , du na integral original:
Podemos fatorar a constante:

Passo 4

Vamos integrar integral raizu , du = integral u^12 , du :
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Usando a regra da potência para integração:
integral u^12 , du = u^3232 + C = 23 u^32 + C
Aqui, 16 cdot 23 u^32 + C = 19 u^32 + C , então:
Multiplicando pela constante :

Passo 5

Finalmente, substituímos u = 1 + 3 y^4 de volta em termos de 19 (1 + 3 y^4)^32 + C :
Então, a integral fica:

Resposta

A integral indefinida é .

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