Calcule a integral indefinida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . O conteúdo que vamos usar aqui é a técnica de substituição para integrar funções mais complicadas. Precisamos encontrar uma parte da função para substituir por uma variável nova, simplificando a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a :
Isso significa que:
Queremos expressar em termos de :
Mas na nossa integral temos , então multiplicamos ambos os lados por 2:

Passo 3

Agora, substituímos e na integral original:
Podemos fatorar a constante:

Passo 4

Vamos integrar :
Usando a regra da potência para integração:
Aqui, , então:
Multiplicando pela constante :

Passo 5

Finalmente, substituímos de volta em termos de :
Então, a integral fica:

Resposta

A integral indefinida é .

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Calcule a integral indefinida.
Resolva o sistema de equações diferenciais por eliminação ou por determinantes.
Considere uma equação diferencial da forma
a Faça a mudança de variáveis afim de obter a equação separável
b Utilize esta mudança de variáveis para resolver a equação diferencial
Nota: Uma equação diferencial que pode ser expressa como é chamada de equação homogênea.
Calcule a integral indefinida.