Resolva o sistema de equações diferenciais por eliminação ou por determinantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me enviou. O problema envolve duas equações que relacionam as derivadas de e com respeito ao tempo . A gente vai precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e álgebra de matrizes para resolver isso. Vamos precisar entender como montar o sistema matricial e encontrar os valores próprios para solucionar as equações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações diferenciais de forma matricial. As equações que temos são:
Podemos expressar isso como:
onde e é a matriz de coeficientes:
Passo 3
Agora, para resolver o sistema, precisamos encontrar os valores próprios () da matriz . Os valores próprios são encontrados resolvendo o determinante da matriz igual a zero:
Calculando isso:
Passo 4
Vamos expandir o determinante:
Então, temos a equação quadrática:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática para :
Então, temos um valor próprio repetido: .
Passo 6
Como temos um valor próprio repetido, precisamos encontrar os vetores próprios correspondentes. Vamos resolver :
Isso nos dá as equações:
Simplificando a primeira equação:
Então, um vetor próprio é .
Passo 7
Como o valor próprio é repetido, precisamos encontrar uma solução geral adicional. A solução geral para sistemas com valores próprios repetidos é:
onde é um vetor generalizado. Para simplificar, podemos escrever a solução geral como:
Passo 8
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes e . Temos que e .
Substituindo na relação de :
E para :
Passo 9
Agora, temos um sistema de equações para e :
Podemos resolver a partir da equação (1): . Substituindo na equação (2):
Isso não faz sentido, então percebemos que precisamos ajustar nossa abordagem para encontrar a solução correta.
Passo 10
Na verdade, para sistemas com valores próprios repetidos, a solução geral deve incluir um termo adicional proporcional a . A solução completa é: