Considere uma equação diferencial da forma
a Faça a mudança de variáveis afim de obter a equação separável
b Utilize esta mudança de variáveis para resolver a equação diferencial
Nota: Uma equação diferencial que pode ser expressa como é chamada de equação homogênea.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá uma equação diferencial da forma . Isso é uma equação homogênea, que é quando a derivada de em relação a depende apenas da razão . Para resolver isso, a gente vai fazer uma troca de variável usando . Precisamos dessa troca para simplificar a equação e torná-la separável, ou seja, para conseguir separar as variáveis e e integrar de maneira mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar em termos de e :
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a para encontrar :
Aqui, usamos a regra do produto na derivação: a derivada de é mais vezes a derivada de .

Passo 3

Substituímos na equação original:
Queremos isolar , então reorganizamos a equação:
Dividindo ambos os lados por , ficamos com:
Prontinho! Agora conseguimos uma equação separável.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte do problema. Temos a equação diferencial específica:
Primeiro, identificamos que aqui . Vamos usar a substituição .

Passo 5

Como fizemos antes, expressamos e derivamos:
Substituímos na equação dada:
Rearranjando para isolar :
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos separar as variáveis e :
Vamos integrar os dois lados. A parte da esquerda com e a parte da direita com .

Passo 7

Integrando:
Podemos separar a fração:
Sabemos que:
Então:

Passo 8

Substituímos de volta na equação:
Podemos simplificar um pouco mais, mas vamos deixar a solução implícita dessa forma.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule a integral indefinida.
Calcule a integral indefinida.
Calcule a integral indefinida.
Calcule as seguintes derivadas: