Considere uma equação diferencial da forma
a Faça a mudança de variáveis
afim de obter a equação separável
b Utilize esta mudança de variáveis para resolver a equação diferencial
Nota: Uma equação diferencial que pode ser expressa como
é chamada de equação homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá uma equação diferencial da forma
. Isso é uma equação homogênea, que é quando a derivada de
em relação a
depende apenas da razão
. Para resolver isso, a gente vai fazer uma troca de variável usando
. Precisamos dessa troca para simplificar a equação e torná-la separável, ou seja, para conseguir separar as variáveis
e
e integrar de maneira mais fácil.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
em termos de
e
:
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
para encontrar
:
Aqui, usamos a regra do produto na derivação: a derivada de
é
mais
vezes a derivada de
.
Passo 3
Substituímos
na equação original:
Queremos isolar
, então reorganizamos a equação:
Dividindo ambos os lados por
, ficamos com:
Prontinho! Agora conseguimos uma equação separável.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte do problema. Temos a equação diferencial específica:
Primeiro, identificamos que aqui
. Vamos usar a substituição
.
Passo 5
Como fizemos antes, expressamos
e derivamos:
Substituímos na equação dada:
Rearranjando para isolar
:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos separar as variáveis
e
:
Vamos integrar os dois lados. A parte da esquerda com
e a parte da direita com
.
Passo 7
Integrando:
Podemos separar a fração:
Sabemos que:
Então:
Passo 8
Substituímos
de volta na equação:
Podemos simplificar um pouco mais, mas vamos deixar a solução implícita dessa forma.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por
onde
é a constante de integração.
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