Calcule a integral indefinida.
integral z^25+z^3 d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com técnicas de substituição. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que, se substituída por uma nova variável, simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como simplificar a fração . Perceba que o denominador está relacionado com o numerador . Isso sugere que podemos usar uma substituição onde uma parte da função é igual a .

Passo 3

Vamos fazer a substituição seguinte:
u = 5 + z^3
Agora, vamos derivar dudz = 3z^2 Rightarrow du = 3z^2 , dz em relação a z^2 , dz = du3 para encontrar :
Queremos expressar em termos de , então rearranjamos a equação:

Passo 4

Agora, substituímos integral z^25+z^3 , dz = integral 1u cdot du3 = 13 integral 1u , du e na integral original:
Isso simplificou bastante a nossa integral!

Passo 5

A integral 13 integral 1u , du = 13 ln|u| + C é uma integral básica que resulta no logaritmo natural. Então, calculamos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos 13 ln|u| + C = 13 ln|5 + z^3| + C de volta para a expressão original em termos de :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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