Calcule a integral indefinida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com técnicas de substituição. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que, se substituída por uma nova variável, simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como simplificar a fração . Perceba que o denominador está relacionado com o numerador . Isso sugere que podemos usar uma substituição onde uma parte da função é igual a .

Passo 3

Vamos fazer a substituição seguinte:
Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Queremos expressar em termos de , então rearranjamos a equação:

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:
Isso simplificou bastante a nossa integral!

Passo 5

A integral é uma integral básica que resulta no logaritmo natural. Então, calculamos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos de volta para a expressão original em termos de :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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