Nos problemas abaixo indique o intervalo que contém a condição inicial no qual as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs lineares de 1a ordem são verdadeiras:
-
-
-
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três equações diferenciais de primeira ordem e precisa encontrar os intervalos onde as condições iniciais garantem que essas equações têm uma solução única. Isso tudo usando o Teorema de Existência e Unicidade. Para resolver, vamos precisar entender as condições do teorema e analisar cada equação pra ver onde essas condições são satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar rapidinho o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs lineares de 1ª ordem. Esse teorema basicamente diz que se os coeficientes da equação são contínuos em um intervalo ao redor do ponto inicial, então existe uma única solução nesse intervalo.
A equação geral é:
Para que o teorema funcione,
,
e
precisam ser contínuos no intervalo considerado, e
não pode ser zero nesse intervalo (pois está dividindo pela frente da y’).
Passo 3
Problema 1:
Aqui, temos:
Vamos ver onde
é diferente de zero e onde todas as funções são contínuas.
Como a condição inicial é
, que está fora desses pontos, o intervalo onde
não é zero e tudo é contínuo é entre
e
.
Passo 4
Problema 2:
Aqui, temos:
-
(já que o coeficiente de é 1) -
-
A função
tem descontinuidades onde
, ou seja, em
, onde
é inteiro.
A condição inicial é
. Vamos ver entre quais pontos
é contínua em torno de
:
As descontinuidades mais próximas de
são em
e
. Então, o intervalo válido é
.
Passo 5
Problema 3:
Aqui, temos:
Vamos verificar onde
é diferente de zero e as funções são contínuas.
A condição inicial é
, que está fora desses pontos. Então, o intervalo onde
não é zero e tudo é contínuo é de
a
.
Resposta
- Problema 1: O intervalo é
. - Problema 2: O intervalo é
. - Problema 3: O intervalo é
.
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