Calcule a integral indefinida. integral z^2z^3+1 d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral indefinida de em relação a . Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo Integral, mais especificamente em integração por substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador u = z^3 + 1 . Uma boa dica é tentar uma substituição que envolva esse denominador. Vamos chamar:

Passo 3

Agora, para usar a substituição, precisamos encontrar a derivada de dudz = 3z^2 em relação a du = 3z^2 dz , ou seja, :
Isso significa que:

Passo 4

A nossa integral original tem z^2 dz = du3 , então vamos ajustar a equação de para isolar :

Passo 5

Agora, substituímos integral z^2z^3+1 dz = integral du3u = 13 integral 1u du e na integral original:

Passo 6

A integral de 13 integral 1u du = 13 ln|u| + C em relação a é o logaritmo natural de , então:

Passo 7

Agora, substituímos 13 ln|z^3 + 1| + C de volta para termos em :

Resposta

A integral indefinida é:
13 ln|z^3 + 1| + C

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