Calcule a integral indefinida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral indefinida de em relação a . Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo Integral, mais especificamente em integração por substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador . Uma boa dica é tentar uma substituição que envolva esse denominador. Vamos chamar:

Passo 3

Agora, para usar a substituição, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, :
Isso significa que:

Passo 4

A nossa integral original tem , então vamos ajustar a equação de para isolar :

Passo 5

Agora, substituímos e na integral original:

Passo 6

A integral de em relação a é o logaritmo natural de , então:

Passo 7

Agora, substituímos de volta para termos em :

Resposta

A integral indefinida é:

Exercícios relacionados

Suponha que uma carga elétrica com velocidade está em uma região onde o campo magnético não é uniforme, podemos afirmar que sua trajetória é uma espiral com raio ? onde é a massa da partícula, a velocidade perpendicular ao campo magnético, a carga elétrica e o campo magnético.
Determine o campo magnético no centro de uma espira de fio retangular, de comprimento L e largura d, percorrida por uma corrente i. (Dica: divida em 4 fios e use a expressão do campo magnético de um fio, some as quatro contribuições de cada fio e obtenha o campo resultante)
Calcule as integrais definidas abaixo.
(b)
Calcule a integral.