Calcule a integral indefinida como uma série de potência e determine seu raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida
utilizando séries de potência. O que a questão quer é que a gente expresse essa integral como uma série e descubra até onde essa série converge, ou seja, o raio de convergência. Para isso, vamos usar o conhecimento de séries geométricas e como integrá-las termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série geométrica. Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por 8, temos:
Essa é a representação em série da função dentro da integral.
Passo 3
Agora, vamos integrar termo a termo. Integramos cada termo da série:
Integrando
, temos:
Portanto, a integral da série é:
Passo 4
Podemos reescrever a soma para facilitar a visualização:
Aqui, mudamos o índice da soma para começar em
, o que é comum em séries que envolvem termos como
.
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série original
converge para
. Como integramos termo a termo dentro desse intervalo, o raio de convergência permanece o mesmo. Ou seja, a série
também converge para
.
Resposta
A integral indefinida expressa como série de potência é:
E o raio de convergência dessa série é
.