Calcule a integral indefinida como uma série de potência e determine seu raio de convergência.
integral 81-t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida utilizando séries de potência. O que a questão quer é que a gente expresse essa integral como uma série e descubra até onde essa série converge, ou seja, o raio de convergência. Para isso, vamos usar o conhecimento de séries geométricas e como integrá-las termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série geométrica. Sabemos que:
11-t = sumn=0^infty t^n para |t| < 1
Multiplicando ambos os lados por 8, temos:
81-t = 8 sumn=0^infty t^n = sumn=0^infty 8t^n
Essa é a representação em série da função dentro da integral.

Passo 3

Agora, vamos integrar termo a termo. Integramos cada termo da série:
integral 81-t , dt = integral sumn=0^infty 8t^n , dt = sumn=0^infty integral 8t^n , dt
Integrando integral 8t^n , dt = 8n+1 t^n+1 + C , temos:
sumn=0^infty 8n+1 t^n+1 + C
Portanto, a integral da série é:

Passo 4

Podemos reescrever a soma para facilitar a visualização:
sumn=0^infty 8n+1 t^n+1 = 8 sumn=1^infty t^nn
Aqui, mudamos o índice da soma para começar em , o que é comum em séries que envolvem termos como .

Passo 5

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série original converge para . Como integramos termo a termo dentro desse intervalo, o raio de convergência permanece o mesmo. Ou seja, a série também converge para .

Resposta

A integral indefinida expressa como série de potência é:
integral 81-t , dt = 8 sumn=1^infty t^nn + C
E o raio de convergência dessa série é .

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