Esboce o gráfico e determine as séries de fourier das seguintes funções.
para e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida no intervalo de a , e ela se repete todo intervalo de comprimento . O que a gente vai fazer aqui é desenhar o gráfico dessa função e encontrar a série de Fourier que representa ela. Para isso, precisamos saber um pouco sobre séries de Fourier, que é uma maneira de representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar o gráfico de no intervalo . Essa é uma linha reta que passa pela origem e tem inclinação . Isso significa que no ponto , , e no ponto , . Como a função se repete a cada unidades, o gráfico vai continuar nesse padrão para todo .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a série de Fourier. Como é uma função periódica com período , a série de Fourier vai ser escrita em termos de senos e cossenos com frequências múltiplas de (já que ).
A série de Fourier geral para uma função periódica é dada por:

Passo 4

Vamos calcular os coeficientes , e .
Primeiro, o coeficiente é dado por:
Substituindo :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo :
Essa integral é de uma função ímpar (produto de uma função ímpar e uma função par), o que resulta em uma função ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Portanto, para todo .

Passo 6

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo :
Essa integral pode ser resolvida por partes. Vamos fazer:
Seja então .
Seja então .
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
Calculando as expressões:
Então:

Passo 7

Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a série de Fourier da função :

Resposta

A série de Fourier da função para e periódica com período é:

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