Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o seu intervalo de convergência.

Passo 1

Vamos ver o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e a expansão em séries da função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de potências da função seno. Sabemos que:

Passo 3

Como queremos , basta dividir a série de seno por :
Aqui, cada termo da série de seno foi dividido por , reduzindo a potência de em 1.

Passo 4

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Razão (ou Ratio Test). Esse teste nos ajuda a identificar para quais valores de a série converge.
Considerando , aplicamos o teste:
Simplificando:

Passo 5

Como e , segundo o Teste da Razão, a série converge para todo valor de . Ou seja, o intervalo de convergência é .

Resposta

A representação em série de potências para é:
E o intervalo de convergência é .

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