Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar o raio e o intervalo de convergência da série . Isso envolve conceitos de séries de potências e testes de convergência, como o Teste da Razão. Vamos precisar entender como aplicar esses conceitos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série dada:
Aqui, cada termo da série é:
Nosso objetivo é encontrar para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta eficiente para determinar o raio de convergência de séries de potências.
Passo 3
O Teste da Razão diz que para uma série , se o limite
Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty | (n+1)x2n+3 | = limn to infty | n+12n+3 | cdot |x| = limn to infty n2n cdot |x| = 12 |x| tende ao infinito:
Passo 6
Aplicando o resultado do Teste da Razão:
12 |x| < 1 implies |x| < 2
Isso significa que o raio de convergência é 2. Portanto, a série converge para todos os valores de tais que . O intervalo de convergência é .
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .