Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar o raio e o intervalo de convergência da série . Isso envolve conceitos de séries de potências e testes de convergência, como o Teste da Razão. Vamos precisar entender como aplicar esses conceitos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série dada:
Aqui, cada termo da série é:
Nosso objetivo é encontrar para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta eficiente para determinar o raio de convergência de séries de potências.

Passo 3

O Teste da Razão diz que para uma série , se o limite
existe, então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite para nossa série.

Passo 4

Primeiro, encontramos :
Agora, calculamos a razão :
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:

Passo 6

Aplicando o resultado do Teste da Razão:
Isso significa que o raio de convergência é 2. Portanto, a série converge para todos os valores de tais que . O intervalo de convergência é .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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