Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries.
sumn=0^infty n!x^n1.3 5 ldots(2 n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar o raio e o intervalo de convergência da série . Isso envolve conceitos de séries de potências e testes de convergência, como o Teste da Razão. Vamos precisar entender como aplicar esses conceitos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série dada:
sumn=0^infty n!x^n1 cdot 3 cdot 5 ldots (2n+1)
Aqui, cada termo da série é:
an = n!x^n1 cdot 3 cdot 5 ldots (2n+1)
Nosso objetivo é encontrar para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta eficiente para determinar o raio de convergência de séries de potências.

Passo 3

O Teste da Razão diz que para uma série L = limn to infty | an+1an | , se o limite
existe, então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite para nossa série.

Passo 4

Primeiro, encontramos an+1 = (n+1)!x^n+11 cdot 3 cdot 5 ldots (2(n+1)+1) = (n+1)!x^n+11 cdot 3 cdot 5 ldots (2n+3) :
an+1an = (n+1)!x^n+11 cdot 3 cdot 5 ldots (2n+3) cdot 1 cdot 3 cdot 5 ldots (2n+1)n!x^n = (n+1) cdot x cdot 12n+3
Agora, calculamos a razão an+1an = (n+1)x2n+3 :
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty | (n+1)x2n+3 | = limn to infty | n+12n+3 | cdot |x| = limn to infty n2n cdot |x| = 12 |x| tende ao infinito:

Passo 6

Aplicando o resultado do Teste da Razão:
12 |x| < 1 implies |x| < 2
Isso significa que o raio de convergência é 2. Portanto, a série converge para todos os valores de tais que . O intervalo de convergência é .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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