Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar o raio e o intervalo de convergência da série . Isso envolve conceitos de séries de potências e testes de convergência, como o Teste da Razão. Vamos precisar entender como aplicar esses conceitos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série dada:
Aqui, cada termo da série é:
Nosso objetivo é encontrar para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta eficiente para determinar o raio de convergência de séries de potências.
Passo 3
O Teste da Razão diz que para uma série , se o limite
existe, então:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite para nossa série.
Passo 4
Primeiro, encontramos :
Agora, calculamos a razão :
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Passo 6
Aplicando o resultado do Teste da Razão:
Isso significa que o raio de convergência é 2. Portanto, a série converge para todos os valores de tais que . O intervalo de convergência é .
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .