Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando uma série de potências. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais e séries de potências. Para isso, vamos precisar conhecer a expansão em série de e depois integrar termo a termo essa série. Também vamos determinar o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série geométrica básica é , válida para . Aqui, nossa função tem um termo no denominador. Podemos reescrever como , o que nos permite usar a série geométrica substituindo por .

Passo 3

Aplicando a série geométrica, temos:
Essa série é válida para , ou seja, , o que simplifica para .

Passo 4

Agora que temos a série de potências para , vamos integrar termo a termo:

Passo 5

Integrando cada termo, obtemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Portanto, a integral indefinida é:

Passo 7

Finalmente, o raio de convergência da série de potências é , já que a série geométrica original converge para .

Resposta

A integral indefinida é
e o raio de convergência da série é .

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