Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
usando uma série de potências. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais e séries de potências. Para isso, vamos precisar conhecer a expansão em série de
e depois integrar termo a termo essa série. Também vamos determinar o raio de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série geométrica básica é
, válida para
. Aqui, nossa função tem um termo
no denominador. Podemos reescrever
como
, o que nos permite usar a série geométrica substituindo
por
.
Passo 3
Aplicando a série geométrica, temos:
Essa série é válida para
, ou seja,
, o que simplifica para
.
Passo 4
Agora que temos a série de potências para
, vamos integrar termo a termo:
Passo 5
Integrando cada termo, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Portanto, a integral indefinida é:
Passo 7
Finalmente, o raio de convergência da série de potências é
, já que a série geométrica original converge para
.
Resposta
A integral indefinida é
e o raio de convergência da série é
.
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