Esboce o traço da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer esboçar o traço de uma curva definida pela equação vetorial . Isso envolve entender como as componentes da curva se comportam conforme o parâmetro varia. Vamos precisar usar conhecimentos de vetores e parametrização de curvas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada componente da equação vetorial representa. A equação pode ser decomposta nas componentes , e :
Passo 3
Observando as primeiras duas equações, vemos que . Isso significa que, para qualquer valor de , a coordenada é sempre o oposto da coordenada . Geometricamente, isso representa um plano no espaço onde .
Passo 4
Agora, vejamos as equações de e . Temos:
Sabemos que , então:
Isso caracteriza um círculo de raio 1 no plano .
Passo 5
Como a curva está no plano e também satisfaz , a interseção dessas duas condições forma um círculo no espaço tridimensional. Essa curva está, portanto, desenhada no plano inclinado onde e forma um círculo de raio 1.
Passo 6
Para indicar a direção em que cresce, vamos analisar como afeta as coordenadas:
Quando : , ,
Conforme aumenta, diminui e aumenta até , onde , ,
Continuando, : , ,
E assim por diante, completando o círculo
Portanto, a direção do aumento de segue o sentido anti-horário quando visto na direção positiva do eixo .
Resposta
A curva é um círculo de raio 1 localizado no plano inclinado no espaço tridimensional. À medida que o parâmetro aumenta, a direção da curva segue no sentido anti-horário visto na direção positiva do eixo . O esboço da curva mostraria esse círculo com setas indicando a direção crescente de .