Esboce o traço da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer esboçar o traço de uma curva definida pela equação vetorial . Isso envolve entender como as componentes da curva se comportam conforme o parâmetro varia. Vamos precisar usar conhecimentos de vetores e parametrização de curvas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada componente da equação vetorial representa. A equação pode ser decomposta nas componentes , e :

Passo 3

Observando as primeiras duas equações, vemos que . Isso significa que, para qualquer valor de , a coordenada é sempre o oposto da coordenada . Geometricamente, isso representa um plano no espaço onde .

Passo 4

Agora, vejamos as equações de e . Temos:
Sabemos que , então:
Isso caracteriza um círculo de raio 1 no plano .

Passo 5

Como a curva está no plano e também satisfaz , a interseção dessas duas condições forma um círculo no espaço tridimensional. Essa curva está, portanto, desenhada no plano inclinado onde e forma um círculo de raio 1.

Passo 6

Para indicar a direção em que cresce, vamos analisar como afeta as coordenadas:
  • Quando : , ,
  • Conforme aumenta, diminui e aumenta até , onde , ,
  • Continuando, : , ,
  • E assim por diante, completando o círculo
Portanto, a direção do aumento de segue o sentido anti-horário quando visto na direção positiva do eixo .

Resposta

A curva é um círculo de raio 1 localizado no plano inclinado no espaço tridimensional. À medida que o parâmetro aumenta, a direção da curva segue no sentido anti-horário visto na direção positiva do eixo . O esboço da curva mostraria esse círculo com setas indicando a direção crescente de .

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