Determine os vetores tangente e normal e encontre a curvatura.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função vetorial e precisamos encontrar os vetores tangente e normal, além da curvatura dessa curva. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . Isso nos dá o vetor velocidade, que é essencial para achar o vetor tangente.
Passo 3
Agora, vamos normalizar o vetor velocidade para obter o vetor tangente unitário . Isso significa dividir pelo seu módulo.
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor tangente unitário é:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar a segunda derivada de , que nos dá o vetor aceleração .
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vetor normal unitário . Para isso, derivamos o vetor tangente e normalizamos.
Primeiro, calculamos . Isso envolve derivar cada componente de , mas nesse caso, como a expressão é um pouco complexa, podemos usar a fórmula da curvatura diretamente usando e .
Passo 6
A curvatura pode ser encontrada usando a seguinte fórmula: