Determine os vetores tangente e normal e encontre a curvatura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função vetorial e precisamos encontrar os vetores tangente e normal, além da curvatura dessa curva. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . Isso nos dá o vetor velocidade, que é essencial para achar o vetor tangente.

Passo 3

Agora, vamos normalizar o vetor velocidade para obter o vetor tangente unitário . Isso significa dividir pelo seu módulo.
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a segunda derivada de , que nos dá o vetor aceleração .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor normal unitário . Para isso, derivamos o vetor tangente e normalizamos.
Primeiro, calculamos . Isso envolve derivar cada componente de , mas nesse caso, como a expressão é um pouco complexa, podemos usar a fórmula da curvatura diretamente usando e .

Passo 6

A curvatura pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
Vamos calcular o produto vetorial :
O módulo desse vetor é:
Já calculamos , então:

Resposta

A curvatura da curva é .

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Esboce o traço da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
( Calcule a derivada das funções abaixo:
(b)
( Mostre que a função definida pela tabela abaixo é uma função quadrática da forma e em seguida, determine os valores das constantes e c.
x 1 2 3 4 5
y -6 0 2 0 -6