Determine os vetores tangente e normal e encontre a curvatura. r(t) = t^3 j + t^2 k
6 t^2 / (9 t^4 + 4 t^2)^(3/2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função vetorial e precisamos encontrar os vetores tangente e normal, além da curvatura dessa curva. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . Isso nos dá o vetor velocidade, que é essencial para achar o vetor tangente.

Passo 3

Agora, vamos normalizar o vetor velocidade para obter o vetor tangente unitário . Isso significa dividir pelo seu módulo.
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a segunda derivada de , que nos dá o vetor aceleração .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor normal unitário . Para isso, derivamos o vetor tangente e normalizamos.
Primeiro, calculamos . Isso envolve derivar cada componente de , mas nesse caso, como a expressão é um pouco complexa, podemos usar a fórmula da curvatura diretamente usando e .

Passo 6

A curvatura pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
Vamos calcular o produto vetorial :
O módulo desse vetor é:
Já calculamos , então:

Resposta

A curvatura da curva é .

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