Utilizando os testes de
e
derivadas, examine cada uma das seguintes funções no que concerne a máximos e mínimos (teste os pontos).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa usar os testes de primeira e segunda derivadas para descobrir onde ela tem máximos e mínimos. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a
e
, encontrar os pontos críticos e depois analisar a natureza desses pontos usando a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando variamos uma variável mantendo a outra fixa.
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero. Isso significa resolver o sistema de equações:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados das equações por 3:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos isolar
:
Agora, substituímos essa expressão na segunda equação:
Multiplicando tudo por
para eliminar o denominador:
Então, temos duas possibilidades:
-
-
→
Passo 5
Para
, substituímos na expressão que encontramos para
:
Então, temos o ponto crítico
.
Para
, substituímos:
Então, temos o ponto crítico
.
Passo 6
Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos críticos. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Passo 7
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Para
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela (não é nem máximo nem mínimo).
Para
:
Como
e
, o ponto
é um ponto de mínimo local.
Resposta
A função
possui um ponto de sela em
e um ponto de mínimo local em
.