Utilizando os testes de e derivadas, examine cada uma das seguintes funções no que concerne a máximos e mínimos (teste os pontos).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa usar os testes de primeira e segunda derivadas para descobrir onde ela tem máximos e mínimos. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a e , encontrar os pontos críticos e depois analisar a natureza desses pontos usando a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando variamos uma variável mantendo a outra fixa.
Para :
Para :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero. Isso significa resolver o sistema de equações:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados das equações por 3:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos isolar :
Agora, substituímos essa expressão na segunda equação:
Multiplicando tudo por para eliminar o denominador:
Então, temos duas possibilidades:

Passo 5

Para , substituímos na expressão que encontramos para :
Então, temos o ponto crítico .
Para , substituímos:
Então, temos o ponto crítico .

Passo 6

Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos críticos. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:

Passo 7

Vamos calcular para cada ponto crítico.
Para :
Como , o ponto é um ponto de sela (não é nem máximo nem mínimo).
Para :
Como e , o ponto é um ponto de mínimo local.

Resposta

A função possui um ponto de sela em e um ponto de mínimo local em .

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b) Seja contínua em .
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