Utilizando os testes de e derivadas, examine cada uma das seguintes funções no que concerne a máximos e mínimos (teste os pontos).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente examinar os máximos e mínimos da função usando os testes de derivadas de primeira e segunda ordem. Isso está relacionado ao estudo de cálculo multivariável, especificamente na análise de extremos de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , encontrar os pontos críticos e então usar a segunda derivada para determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando mudamos uma variável mantendo a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema de equações:
Simplificando ambas as equações dividindo por 3:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações:
Da primeira equação, podemos expressar em função de :
Substituindo na segunda equação:
Multiplicando todos os termos por 16 para eliminar o denominador:
Então, ou .
Agora, encontramos os valores de correspondentes:
Para :
Para :
Então, os pontos críticos são e .
Passo 5
Agora, vamos usar a segunda derivada para determinar a natureza desses pontos críticos. Para isso, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
O discriminante é dado por:
Passo 6
Vamos calcular o discriminante para cada ponto crítico.
Para o ponto :
Como , o ponto é um ponto de sela.
Para o ponto :
Aqui, e , então o ponto é um mínimo local.
Resposta
A função possui um ponto de sela em e um ponto de mínimo local em .