Use a equação
para determinar uma representação em série de potências para
. Qual é o raio de convergência?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a série geométrica
para encontrar uma representação em série de potências para a função
. Além disso, precisamos determinar o raio de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a série de potência de
, podemos usar integração da série geométrica. Sabemos que:
Isso é válido para
.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação acima em relação a
:
Passo 4
A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito, integrando termo a termo, fica:
Passo 5
Agora, ajustamos as constantes de integração. Considerando
, ambos os lados devem ser iguais. Assim,
.
Portanto, temos:
Passo 6
Vamos reescrever a equação para facilitar:
Passo 7
Fazendo uma substituição de variável
por
, temos:
Passo 8
Podemos reindexar a soma para começar em
:
Passo 9
Então, a representação em série de potências para
é:
Resposta
A série de potência para
é
e o raio de convergência dessa série é
.
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