Use a equação
11-x=sumn=0^infty x^n, |x|<1
para determinar uma representação em série de potências para f(x)=ln (1+x). Qual é o raio de convergência?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a série geométrica
11-x=sumn=0^infty x^n, |x|<1
para encontrar uma representação em série de potências para a função . Além disso, precisamos determinar o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a série de potência de 11-x = sumn=0^infty x^n , podemos usar integração da série geométrica. Sabemos que:
Isso é válido para .

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação acima em relação a integral 11-x dx = integral sumn=0^infty x^n dx :

Passo 4

A integral do lado esquerdo é:
- ln|1 - x| + C
E a integral do lado direito, integrando termo a termo, fica:
sumn=0^infty x^n+1n+1 + C

Passo 5

Agora, ajustamos as constantes de integração. Considerando - ln(1 - x) = sumn=0^infty x^n+1n+1 , ambos os lados devem ser iguais. Assim, .
Portanto, temos:

Passo 6

Vamos reescrever a equação para facilitar:
ln(1 - x) = - sumn=0^infty x^n+1n+1

Passo 7

Fazendo uma substituição de variável ln(1 + x) = sumn=0^infty (-1)^n x^n+1n+1 por , temos:

Passo 8

Podemos reindexar a soma para começar em ln(1 + x) = sumn=1^infty (-1)^n-1 x^nn :

Passo 9

Então, a representação em série de potências para ln(1 + x) = sumn=1^infty (-1)^n-1 x^nn é:

Resposta

A série de potência para ln(1 + x) = sumn=1^infty (-1)^n-1 x^nn é
e o raio de convergência dessa série é .

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