Use a equação
para determinar uma representação em série de potências para . Qual é o raio de convergência?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a série geométrica
para encontrar uma representação em série de potências para a função . Além disso, precisamos determinar o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a série de potência de , podemos usar integração da série geométrica. Sabemos que:
Isso é válido para .

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação acima em relação a :

Passo 4

A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito, integrando termo a termo, fica:

Passo 5

Agora, ajustamos as constantes de integração. Considerando , ambos os lados devem ser iguais. Assim, .
Portanto, temos:

Passo 6

Vamos reescrever a equação para facilitar:

Passo 7

Fazendo uma substituição de variável por , temos:

Passo 8

Podemos reindexar a soma para começar em :

Passo 9

Então, a representação em série de potências para é:

Resposta

A série de potência para é
e o raio de convergência dessa série é .

Exercícios relacionados

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. (Dica: use a série geométrica).
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. (Dica: use a série geométrica).
Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
Dica: Primeiro expresse o integrando como a soma de uma série de potências. Depois integre esta representação no seu intervalo de convergência.
EDO de primeira ordem linear Qual é a solução geral da EDO ?