Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. (Dica: use a série geométrica).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências da função e determinar o intervalo de convergência. Vamos usar a série geométrica para isso, então vamos precisar lembrar como ela funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos manipular a função para que fique no formato de uma série geométrica. A série geométrica tem a forma , onde para convergir. Nosso objetivo é expressar de maneira que possamos identificar e .
Passo 3
Vamos reescrever a função de forma a separar os termos:
Agora, focamos na parte . Queremos que o denominador tenha a forma , então vamos manipular:
Passo 4
Agora, aplicamos a série geométrica , onde . Assim, temos:
Portanto, a função fica:
Passo 5
Agora, determinamos o intervalo de convergência da série geométrica. Sabemos que , então: