Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. (Dica: use a série geométrica).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências da função e determinar o intervalo de convergência. Vamos usar a série geométrica para isso, então vamos precisar lembrar como ela funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a função para que fique no formato de uma série geométrica. A série geométrica tem a forma , onde para convergir. Nosso objetivo é expressar de maneira que possamos identificar e .

Passo 3

Vamos reescrever a função de forma a separar os termos:
Agora, focamos na parte . Queremos que o denominador tenha a forma , então vamos manipular:

Passo 4

Agora, aplicamos a série geométrica , onde . Assim, temos:
Portanto, a função fica:

Passo 5

Agora, determinamos o intervalo de convergência da série geométrica. Sabemos que , então:

Resposta

A representação em série de potências para é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências.
Use a equação
para determinar uma representação em série de potências para . Qual é o raio de convergência?
Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
Dica: Primeiro expresse o integrando como a soma de uma série de potências. Depois integre esta representação no seu intervalo de convergência.