Suponha que você saiba que a série sumn=0^infty bn x^n converge para |x|<2. O que você pode dizer sobre a série a seguir? Por quê?
sumn=0^infty bnn+1 x^n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre duas séries infinitas e quer saber o que podemos dizer sobre a segunda série, dado que a primeira converge quando . Estamos lidando com séries de potências, que são importantes para entender funções em cálculo e análise matemática. Para resolver isso, vamos analisar a relação entre as duas séries e usar algumas propriedades de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas séries:
  1. Primeira série: que converge para . Isso significa que, para valores de cujo valor absoluto é menor que 2, a série soma a um valor finito.
  2. Segunda série: .

Passo 3

Vamos reescrever a segunda série para facilitar a análise. Observamos que:
sumn=0^infty bnn+1 x^n+1 = x sumn=0^infty bnn+1 x^n
Isso é útil porque conseguimos fatorar o fora da soma.

Passo 4

Agora, observe que a expressão integral0^x sumn=0^infty bn t^n dt = sumn=0^infty bnn+1 x^n+1 está relacionada a uma integração termo a termo da primeira série. Sabemos que:
Isso significa que a segunda série pode ser vista como uma integral da primeira série multiplicada por .

Passo 5

Sabemos que a integração de uma série de potências não altera o raio de convergência. Portanto, se a primeira série converge para , a segunda série também terá o mesmo raio de convergência. Ou seja, a segunda série converge para .

Resposta

A segunda série converge para , assim como a primeira série.

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