Suponha que você saiba que a série
converge para
. O que você pode dizer sobre a série a seguir? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre duas séries infinitas e quer saber o que podemos dizer sobre a segunda série, dado que a primeira converge quando
. Estamos lidando com séries de potências, que são importantes para entender funções em cálculo e análise matemática. Para resolver isso, vamos analisar a relação entre as duas séries e usar algumas propriedades de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas séries:
- Primeira série:
que converge para . Isso significa que, para valores de cujo valor absoluto é menor que 2, a série soma a um valor finito. - Segunda série:
.
Passo 3
Vamos reescrever a segunda série para facilitar a análise. Observamos que:
Isso é útil porque conseguimos fatorar o
fora da soma.
Passo 4
Agora, observe que a expressão
está relacionada a uma integração termo a termo da primeira série. Sabemos que:
Isso significa que a segunda série pode ser vista como uma integral da primeira série multiplicada por
.
Passo 5
Sabemos que a integração de uma série de potências não altera o raio de convergência. Portanto, se a primeira série converge para
, a segunda série também terá o mesmo raio de convergência. Ou seja, a segunda série
converge para
.
Resposta
A segunda série converge para
, assim como a primeira série.