Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
integral x-arctg xx^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida usando uma série de potências. A questão pede para calcular:
integral x - arctan(x)x^3 , dx
E também determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo sobre integrais e séries de potências, além de entender como encontrar o intervalo no qual a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
x - arctan(x)x^3 = xx^3 - arctan(x)x^3 = 1x^2 - arctan(x)x^3
Então, nossa integral fica:
integral ( 1x^2 - arctan(x)x^3 ) dx

Passo 3

Vamos dividir a integral em duas partes para facilitar:
integral 1x^2 , dx - integral arctan(x)x^3 , dx
A primeira integral é simples de resolver:
integral 1x^2 , dx = -1x + C1
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, focamos na segunda integral:
integral arctan(x)x^3 , dx
Para resolver essa parte, vamos expandir a função arctan(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1, para |x| <= 1 como uma série de potências. Sabemos que:

Passo 5

Substituindo a série de integral 1x^3 ( sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1 ) dx = sumn=0^infty (-1)^n 12n+1 integral x^2n+1 - 3 , dx na integral, temos:
2n + 1 - 3 = 2n - 2
Simplificando o expoente:
sumn=0^infty (-1)^n 12n+1 integral x^2n - 2 , dx
Então, a integral fica:

Passo 6

Resolvendo a integral para cada termo da série:
integral x^2n - 2 , dx = x^2n - 12n - 1 + Cn
Onde é a constante de integração para cada termo.

Passo 7

Substituindo de volta na série:
sumn=0^infty (-1)^n 12n+1 cdot x^2n - 12n - 1 = sumn=0^infty (-1)^n x^2n - 1(2n+1)(2n - 1)

Passo 8

Agora, juntando as duas partes da integral que resolvemos:
-1x - sumn=0^infty (-1)^n x^2n - 1(2n+1)(2n - 1) + C
Onde é a constante geral de integração.

Passo 9

Para determinar o raio de convergência da série, observamos que a série de converge para . Ao manipularmos essa série e ajustar os expoentes, o intervalo de convergência permanece o mesmo, ou seja, o raio de convergência é 1.

Resposta

A integral indefinida é dada por:
-1x - sumn=0^infty (-1)^n x^2n - 1(2n+1)(2n - 1) + C
E o raio de convergência da série de potências é 1.

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