Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida usando uma série de potências. A questão pede para calcular:
E também determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo sobre integrais e séries de potências, além de entender como encontrar o intervalo no qual a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, nossa integral fica:
Passo 3
Vamos dividir a integral em duas partes para facilitar:
A primeira integral é simples de resolver:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, focamos na segunda integral:
Para resolver essa parte, vamos expandir a função
como uma série de potências. Sabemos que:
Passo 5
Substituindo a série de
na integral, temos:
Simplificando o expoente:
Então, a integral fica:
Passo 6
Resolvendo a integral para cada termo da série:
Onde
é a constante de integração para cada termo.
Passo 7
Substituindo de volta na série:
Passo 8
Agora, juntando as duas partes da integral que resolvemos:
Onde
é a constante geral de integração.
Passo 9
Para determinar o raio de convergência da série, observamos que a série de
converge para
. Ao manipularmos essa série e ajustar os expoentes, o intervalo de convergência permanece o mesmo, ou seja, o raio de convergência é 1.
Resposta
A integral indefinida é dada por:
E o raio de convergência da série de potências é 1.
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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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Determine a série de Taylor.