Determine a série de Taylor.
Passo 1
Então, a gente precisa encontrar a série de Taylor da função
em torno de
. Isso quer dizer que vamos expandir essa função em uma série de potências centrada em
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da fórmula da série de Taylor e como aplicá-la a funções como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a expansão. Sabemos que:
Aqui, expressamos
como
para centralizar a série em
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da série geométrica, que é uma ferramenta útil para expandir expressões desse tipo. A série geométrica é dada por:
Nesse caso, podemos identificar o termo
na nossa expressão.
Passo 4
Comparando com a nossa função reescrita, temos:
Aqui, vemos que
. Então, aplicando a série geométrica:
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é: