Determine a série de Taylor.

Passo 1

Então, a gente precisa encontrar a série de Taylor da função em torno de . Isso quer dizer que vamos expandir essa função em uma série de potências centrada em . Para resolver isso, vamos precisar lembrar da fórmula da série de Taylor e como aplicá-la a funções como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a expansão. Sabemos que:
Aqui, expressamos como para centralizar a série em .

Passo 3

Agora, vamos lembrar da série geométrica, que é uma ferramenta útil para expandir expressões desse tipo. A série geométrica é dada por:
Nesse caso, podemos identificar o termo na nossa expressão.

Passo 4

Comparando com a nossa função reescrita, temos:
Aqui, vemos que . Então, aplicando a série geométrica:

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:

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