A população de peixes em um lago está diminuindo devido à contaminação de água por resíduos industriais. A lei n(t) = 5000 - 10 * 2^(t-1) fornece uma estimativa do número de espécies vivas, n(t), em função do número de anos transcorridos, t, após a instalação do parque industrial na região.
Algum tempo após as indústrias começarem a operar, constatou-se que a população de peixes no lago era de 4920 indivíduos. Quanto anos haviam-se passado?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a população de peixes em um lago que está diminuindo por causa da contaminação. A gente tem uma fórmula que relaciona o número de peixes, , com o tempo em anos, , depois que a indústria foi instalada. Para resolver, vamos precisar entender como usar essa fórmula para encontrar o tempo que passou quando a população era de 4920 peixes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fórmula que nos foi dada:
Aqui, é a quantidade de peixes após anos. A gente sabe que em algum momento a população era de 4920 peixes, então vamos substituir por 4920 na equação:

Passo 3

Agora, vamos isolar o termo que tem a incógnita . Primeiro, subtraímos 5000 de ambos os lados:
Em seguida, dividimos ambos os lados por -10 para simplificar:

Passo 4

Agora, temos uma equação exponencial: . Sabemos que 8 pode ser escrito como , então:
Como as bases são iguais, os expoentes também devem ser iguais:
Finalmente, somamos 1 em ambos os lados para encontrar :

Resposta

Foram passados 4 anos desde a instalação da indústria até a população de peixes ser de 4920 indivíduos.

Exercícios relacionados