Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
integral x^2 arctg(x^4) d x

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A tarefa é calcular a integral indefinida de e expressar o resultado como uma série de potências. Além disso, precisamos descobrir qual é o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o conceito de séries de potências e saber como integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir a função arco-tangente ( arctan(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n + 1 ) em uma série de potências. A série de potência da é:
Essa série funciona quando .

Passo 3

No nosso caso, a função é arctan(x^4) = sumn=0^infty (-1)^n (x^4)^2n+12n + 1 = sumn=0^infty (-1)^n x^8n + 42n + 1 em vez de . Então, vamos substituir por na série:

Passo 4

Agora, queremos multiplicar essa série por x^2 arctan(x^4) = x^2 sumn=0^infty (-1)^n x^8n + 42n + 1 = sumn=0^infty (-1)^n x^8n + 62n + 1 para preparar a integral:

Passo 5

Vamos integrar termo a termo a série que obtivemos:
integral x^2 arctan(x^4) , dx = sumn=0^infty (-1)^n2n + 1 integral x^8n + 6 , dx = sumn=0^infty (-1)^n(2n + 1)(8n + 7) x^8n + 7 + C
Aqui, é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de |x^4| <= 1 Rightarrow |x| <= 1 converge para . Como substituímos por , a condição de convergência fica:
Então, o raio de convergência é 1.

Resposta

A integral indefinida é:
integral x^2 arctan(x^4) , dx = sumn=0^infty (-1)^n x^8n + 7(2n + 1)(8n + 7) + C
E o raio de convergência dessa série é .

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