Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A tarefa é calcular a integral indefinida de e expressar o resultado como uma série de potências. Além disso, precisamos descobrir qual é o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o conceito de séries de potências e saber como integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir a função arco-tangente ( ) em uma série de potências. A série de potência da é:
Essa série funciona quando .

Passo 3

No nosso caso, a função é em vez de . Então, vamos substituir por na série:

Passo 4

Agora, queremos multiplicar essa série por para preparar a integral:

Passo 5

Vamos integrar termo a termo a série que obtivemos:
Aqui, é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de converge para . Como substituímos por , a condição de convergência fica:
Então, o raio de convergência é 1.

Resposta

A integral indefinida é:
E o raio de convergência dessa série é .

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Calcule os seguintes valores:
Um elemento bomba, capaz de destruir a casa que Tião Macalé morou em 1952, tem uma meia vida (tempo em que sua massa se reduz pela metade) de 15 horas. Uma amostra desse elemento possui uma massa inicial m de 10 gramas. Faça o que se pede:
Qual é a massa da amostra após 45 horas?
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Qual o tempo necessário para que a amostra possua massa de 1 grama? Dica: Use a função obtida no item anterior.