Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A tarefa é calcular a integral indefinida de
e expressar o resultado como uma série de potências. Além disso, precisamos descobrir qual é o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o conceito de séries de potências e saber como integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir a função arco-tangente (
) em uma série de potências. A série de potência da
é:
Essa série funciona quando
.
Passo 3
No nosso caso, a função é
em vez de
. Então, vamos substituir
por
na série:
Passo 4
Agora, queremos multiplicar essa série por
para preparar a integral:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo a série que obtivemos:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de
converge para
. Como substituímos
por
, a condição de convergência fica:
Então, o raio de convergência é 1.
Resposta
A integral indefinida é:
E o raio de convergência dessa série é
.