Calcule a integral indefinida e verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta:
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos calcular a integral indefinida de
em relação a
e, em seguida, verificar o resultado calculando a derivada da nossa resposta. Para resolver isso, vamos usar as regras de integração de funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a raiz cúbica em forma de potência para facilitar a integração. Sabemos que:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, aplicamos a regra de integração para potências de
, que é:
onde
é a constante de integração. No nosso caso,
.
Passo 4
Calculamos o novo expoente adicionando 1 a
:
Substituímos de volta na integral:
Passo 5
Simplificamos os coeficientes:
Portanto, a expressão fica:
Passo 6
Para verificar nossa resposta, calculamos a derivada de
:
Esta derivada corresponde exatamente ao integrando original, confirmando que nossa solução está correta.
Resposta
A integral indefinida de
é
, onde
é a constante de integração.
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