Calcule a integral indefinida e verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta:

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos calcular a integral indefinida de em relação a e, em seguida, verificar o resultado calculando a derivada da nossa resposta. Para resolver isso, vamos usar as regras de integração de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a raiz cúbica em forma de potência para facilitar a integração. Sabemos que:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, aplicamos a regra de integração para potências de , que é:
onde é a constante de integração. No nosso caso, .

Passo 4

Calculamos o novo expoente adicionando 1 a :
Substituímos de volta na integral:

Passo 5

Simplificamos os coeficientes:
Portanto, a expressão fica:

Passo 6

Para verificar nossa resposta, calculamos a derivada de :
Esta derivada corresponde exatamente ao integrando original, confirmando que nossa solução está correta.

Resposta

A integral indefinida de é , onde é a constante de integração.

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