Calcule a integral indefinida e verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral indefinida de em relação a , e depois verificar o resultado calculando a derivada da resposta. Aqui, vamos usar o conteúdo de cálculo integral e derivada, especificamente a regra de potência para integrais e derivadas. Precisaremos entender como manipular expoentes e aplicar essas regras para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar o cálculo. Sabemos que é o mesmo que . Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar os termos com a mesma base . Quando multiplicamos potências com a mesma base, somamos os expoentes:
Portanto, a integral simplificada é:

Passo 4

Para calcular a integral de uma função da forma , usamos a regra de potência da integração, que diz:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando a regra de potência à nossa integral:
Vamos calcular os expoentes:
Então, a expressão se torna:

Passo 6

Dividindo por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo inverso. Então:
Podemos simplificar a fração:
Portanto:

Passo 7

Agora, precisamos verificar se nosso resultado está correto calculando a derivada da função que encontramos. Vamos derivar em relação a .

Passo 8

Usando a regra de potência da derivada:
Simplificando os coeficientes:
E o expoente:
Então, a derivada é:

Resposta

A integral indefinida é:

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Calcule:
Encontre a derivada das funções dadas: (Diva)
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