Calcule a integral indefinida e verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta:
integral 6 t^2 raiz[3]t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral indefinida de em relação a , e depois verificar o resultado calculando a derivada da resposta. Aqui, vamos usar o conteúdo de cálculo integral e derivada, especificamente a regra de potência para integrais e derivadas. Precisaremos entender como manipular expoentes e aplicar essas regras para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar o cálculo. Sabemos que integral 6 t^2 cdot t^1/3 , dt é o mesmo que . Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar os termos com a mesma base t^2 cdot t^1/3 = t^2 + 1/3 = t^7/3 . Quando multiplicamos potências com a mesma base, somamos os expoentes:
integral 6 t^7/3 , dt
Portanto, a integral simplificada é:

Passo 4

Para calcular a integral de uma função da forma integral t^n , dt = t^n+1n+1 + C , usamos a regra de potência da integração, que diz:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando a regra de potência à nossa integral:
integral 6 t^7/3 , dt = 6 cdot t^7/3 + 17/3 + 1 + C
Vamos calcular os expoentes:
7/3 + 1 = 73 + 33 = 103
Então, a expressão se torna:
6 cdot t^10/310/3 + C

Passo 6

Dividindo por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo inverso. Então:
6 cdot 310 t^10/3 + C = 1810 t^10/3 + C
Podemos simplificar a fração:
1810 = 95
Portanto:
95 t^10/3 + C

Passo 7

Agora, precisamos verificar se nosso resultado está correto calculando a derivada da função que encontramos. Vamos derivar em relação a .

Passo 8

Usando a regra de potência da derivada:
ddt ( 95 t^10/3 ) = 95 cdot 103 t^10/3 - 1
Simplificando os coeficientes:
95 cdot 103 = 9015 = 6
E o expoente:
10/3 - 1 = 7/3
Então, a derivada é:
6 t^7/3

Resposta

A integral indefinida é:
95 t^10/3 + C

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