Calcule a integral indefinida e verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral indefinida de
em relação a
, e depois verificar o resultado calculando a derivada da resposta. Aqui, vamos usar o conteúdo de cálculo integral e derivada, especificamente a regra de potência para integrais e derivadas. Precisaremos entender como manipular expoentes e aplicar essas regras para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar o cálculo. Sabemos que
é o mesmo que
. Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar os termos com a mesma base
. Quando multiplicamos potências com a mesma base, somamos os expoentes:
Portanto, a integral simplificada é:
Passo 4
Para calcular a integral de uma função da forma
, usamos a regra de potência da integração, que diz:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Aplicando a regra de potência à nossa integral:
Vamos calcular os expoentes:
Então, a expressão se torna:
Passo 6
Dividindo por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo inverso. Então:
Podemos simplificar a fração:
Portanto:
Passo 7
Agora, precisamos verificar se nosso resultado está correto calculando a derivada da função que encontramos. Vamos derivar
em relação a
.
Passo 8
Usando a regra de potência da derivada:
Simplificando os coeficientes:
E o expoente:
Então, a derivada é:
Resposta
A integral indefinida é:
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Calcule:
Encontre a derivada das funções dadas: (Diva)
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