Calcule
, em que

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de de até , onde a função é definida da seguinte forma:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente a ideia de integrar funções que possuem valores diferentes em intervalos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde a função não é zero. Pelo enunciado, quando e quando .
Isso significa que a função só “faz algo” entre -1 e 1. Fora desse intervalo, é zero e não contribui para a integral.

Passo 3

Com isso em mente, podemos simplificar nossa integral original. Como para , a integral de a agora vira a integral de -1 a 1:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral mais simples. A integral de uma constante, nesse caso 1, sobre um intervalo é simplesmente a constante multiplicada pelo comprimento do intervalo:
Aqui, , e .

Passo 5

Aplicando isso na nossa integral:

Resposta

A integral de de até é igual a 2.

Exercícios relacionados

Suponha . Verifique se
é convergente ou não. Caso seja convergente, determine seu valor em função de .
Estude a convergência de cada integral imprópria.
Mostre que para . Use o princípio de comparação para mostrar que é convergente.
Curiosidade: É possível mostrar que .
Estude a convergência de cada integral imprópria.