Calcule
, em que
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de
de
até
, onde a função
é definida da seguinte forma:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente a ideia de integrar funções que possuem valores diferentes em intervalos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde a função
não é zero. Pelo enunciado,
quando
e
quando
.
Isso significa que a função só “faz algo” entre -1 e 1. Fora desse intervalo,
é zero e não contribui para a integral.
Passo 3
Com isso em mente, podemos simplificar nossa integral original. Como
para
, a integral de
a
agora vira a integral de -1 a 1:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral mais simples. A integral de uma constante, nesse caso 1, sobre um intervalo
é simplesmente a constante multiplicada pelo comprimento do intervalo:
Aqui,
,
e
.
Passo 5
Aplicando isso na nossa integral:
Resposta
A integral de
de
até
é igual a 2.
Exercícios relacionados
Suponha
. Verifique se
é convergente ou não. Caso seja convergente, determine seu valor em função de
.
Estude a convergência de cada integral imprópria.
Mostre que
para
. Use o princípio de comparação para mostrar que
é convergente.
Curiosidade: É possível mostrar que .
Curiosidade: É possível mostrar que
Estude a convergência de cada integral imprópria.