Suponha p>0. Verifique se
integral0^infty e^-p x cos (x) d x
é convergente ou não. Caso seja convergente, determine seu valor em função de p.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a integral
integral0^infty e^-p x cos (x) , dx
é convergente para e, se for, calcular o valor dela em função de . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias que envolvem funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a integral converge. Observe que é uma função que decresce exponencialmente para zero conforme vai para o infinito, e oscila entre -1 e 1. O produto dessas duas funções, , será limitado e tende a zero quando aumenta. Isso sugere que a integral pode ser convergente.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da integral. Para isso, vamos integrar integral0^infty e^-a x cos(b x) , dx = aa^2 + b^2 em relação a . Podemos usar a técnica de integração por partes ou lembrar da fórmula padrão para integrais desse tipo:
Aqui, comparando com nossa integral, temos e .

Resposta

Portanto, a integral converge e seu valor é dado por:
integral0^infty e^-p x cos (x) , dx = pp^2 + 1

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