Suponha
. Verifique se
é convergente ou não. Caso seja convergente, determine seu valor em função de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a integral
é convergente para
e, se for, calcular o valor dela em função de
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias que envolvem funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a integral converge. Observe que
é uma função que decresce exponencialmente para zero conforme
vai para o infinito, e
oscila entre -1 e 1. O produto dessas duas funções,
, será limitado e tende a zero quando
aumenta. Isso sugere que a integral pode ser convergente.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor da integral. Para isso, vamos integrar
em relação a
. Podemos usar a técnica de integração por partes ou lembrar da fórmula padrão para integrais desse tipo:
Aqui, comparando com nossa integral, temos
e
.
Resposta
Portanto, a integral converge e seu valor é dado por:
Exercícios relacionados
Estude a convergência de cada integral imprópria.
Estude a convergência de cada integral imprópria.
.
Calcule
, em que
Mostre que
para
. Use o princípio de comparação para mostrar que
é convergente.
Curiosidade: É possível mostrar que .
Curiosidade: É possível mostrar que