Suponha . Verifique se
é convergente ou não. Caso seja convergente, determine seu valor em função de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a integral
é convergente para e, se for, calcular o valor dela em função de . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias que envolvem funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a integral converge. Observe que é uma função que decresce exponencialmente para zero conforme vai para o infinito, e oscila entre -1 e 1. O produto dessas duas funções, , será limitado e tende a zero quando aumenta. Isso sugere que a integral pode ser convergente.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da integral. Para isso, vamos integrar em relação a . Podemos usar a técnica de integração por partes ou lembrar da fórmula padrão para integrais desse tipo:
Aqui, comparando com nossa integral, temos e .

Resposta

Portanto, a integral converge e seu valor é dado por:

Exercícios relacionados

Estude a convergência de cada integral imprópria.
Estude a convergência de cada integral imprópria.
.
Calcule
, em que
Mostre que para . Use o princípio de comparação para mostrar que é convergente.
Curiosidade: É possível mostrar que .