Estude a convergência de cada integral imprópria.
Passo 1
Beleza, vamos analisar a integral imprópria
. O que a gente precisa fazer aqui é verificar se essa integral converge ou diverge. Para isso, vamos usar algumas ferramentas do cálculo, como testes de comparação para integrais impróprias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria. Uma integral assim tem limites que vão até o infinito ou tem alguma descontinuidade na função integranda. No nosso caso, o limite superior é o infinito.
Passo 3
A função que estamos integrando é
. Vamos observar como ela se comporta para valores grandes de
. Sabemos que
decresce muito rápido quando
aumenta, enquanto
também diminui, mas mais lentamente.
Passo 4
Para testar a convergência, podemos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos ajuda a comparar a integral dada com outra que já sabemos se ela converge ou não. A gente escolhe uma função que seja maior que a nossa integranda e cuja integral seja fácil de avaliar.
Passo 5
Vamos comparar
com
. Sabemos que
para todo
, então:
A integral de
de 1 até o infinito é:
Isso significa que a integral de
diverge. Mas isso não nos ajuda diretamente, porque estamos comparando com uma função que diverge.
Passo 6
Vamos tentar outra comparação. Sabemos que para
,
decai exponencialmente, então podemos comparar com
, que é uma função que decai mais rápido e cuja integral é:
Isso quer dizer que a integral de
converge.
Passo 7
Agora, vamos mostrar que
para
suficientemente grande. Observando que:
Portanto:
Como a integral de
converge e nossa função é menor ou igual a ela para
, pelo Teste da Comparação, a integral
também converge.
Resposta
A integral imprópria
converge.
Exercícios relacionados
Estude a convergência de cada integral imprópria.
.
Estude a convergência de cada integral imprópria.
.
Suponha
. Verifique se
é convergente ou não. Caso seja convergente, determine seu valor em função de
.
Calcule
, em que