Estude a convergência de cada integral imprópria.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a integral imprópria . O que a gente precisa fazer aqui é verificar se essa integral converge ou diverge. Para isso, vamos usar algumas ferramentas do cálculo, como testes de comparação para integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria. Uma integral assim tem limites que vão até o infinito ou tem alguma descontinuidade na função integranda. No nosso caso, o limite superior é o infinito.

Passo 3

A função que estamos integrando é . Vamos observar como ela se comporta para valores grandes de . Sabemos que decresce muito rápido quando aumenta, enquanto também diminui, mas mais lentamente.

Passo 4

Para testar a convergência, podemos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos ajuda a comparar a integral dada com outra que já sabemos se ela converge ou não. A gente escolhe uma função que seja maior que a nossa integranda e cuja integral seja fácil de avaliar.

Passo 5

Vamos comparar com . Sabemos que para todo , então:
A integral de de 1 até o infinito é:
Isso significa que a integral de diverge. Mas isso não nos ajuda diretamente, porque estamos comparando com uma função que diverge.

Passo 6

Vamos tentar outra comparação. Sabemos que para , decai exponencialmente, então podemos comparar com , que é uma função que decai mais rápido e cuja integral é:
Isso quer dizer que a integral de converge.

Passo 7

Agora, vamos mostrar que para suficientemente grande. Observando que:
Portanto:
Como a integral de converge e nossa função é menor ou igual a ela para , pelo Teste da Comparação, a integral também converge.

Resposta

A integral imprópria converge.

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Estude a convergência de cada integral imprópria.
.
Estude a convergência de cada integral imprópria.
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Suponha . Verifique se
é convergente ou não. Caso seja convergente, determine seu valor em função de .
Calcule
, em que