Calcule integral-infty^0(x+1) e^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Isso envolve cálculo de integrais, especificamente usando integração por partes e lidando com limites infinitos. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções exponenciais e como integrar expressões que multiplicam essas funções por polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral separando os termos dentro dos parênteses:
integral-infty^0(x+1) e^2 x , dx = integral-infty^0x e^2x , dx + integral-infty^0e^2x , dx
Agora, temos duas integrais mais simples para resolver: uma com e outra apenas com .

Passo 3

Vamos começar resolvendo integral u , dv = u v - integral v , du usando integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
integral x e^2x , dx = x cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x , dx = x2 e^2x - 14 e^2x + C
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:

Passo 4

Agora, resolvemos a segunda integral: integral e^2x , dx = 12 e^2x + C . Sabemos que a integral de é , então:

Passo 5

Vamos agora juntar as duas integrais e aplicar os limites de integral-infty^0(x+1) e^2x , dx = [ x2 e^2x - 14 e^2x ]-infty^0 + [ 12 e^2x ]-infty^0 a = ( 02 e^0 - 14 e^0 ) - limx to -infty ( x2 e^2x - 14 e^2x ) + ( 12 e^0 - limx to -infty 12 e^2x ) :
= (0 - 14 ) - (0 - 0) + ( 12 - 0 ) = -14 + 12 = 14
Simplificando:
Sabemos que tende a 0 quando vai para , então os termos com se anulam:

Resposta

O valor da integral é .

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