(1,0 ponto) Calcule integralpi^24^pi^2 sin raizx d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de sin raizx no intervalo de pi^24 até pi^2. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, onde usamos técnicas como substituição e integração por partes para resolver integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar de u a raiz quadrada de x, ou seja, u = raizx. Então, elevando os dois lados ao quadrado, temos x = u^2.
Agora, precisamos calcular dx em termos de u. Derivando ambos os lados, temos:
dx = 2u , du

Passo 3

Substituindo u e dx na integral original, a gente fica com:
integralpi^24^pi^2 sin raizx , dx = integralpi2^pi sin(u) cdot 2u , du = 2 integralpi2^pi u sin(u) , du
Aqui, também ajustamos os limites de integração: quando x = pi^24, u = pi2, e quando x = pi^2, u = pi.

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral 2 integral u sin(u) , du usando o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = u (simplifica a derivada)
  • dv = sin(u) , du
Então, derivando e integrando:
  • du = du
  • v = -cos(u)

Passo 5

Aplicando a fórmula:
integral u sin(u) , du = -u cos(u) + integral cos(u) , du = -u cos(u) + sin(u) + C
Agora, multiplicando por 2:
2 integral u sin(u) , du = 2[-u cos(u) + sin(u)]

Passo 6

Vamos avaliar essa expressão nos limites de pi2 e pi:
2[-u cos(u) + sin(u)] |pi2^pi = 2[-pi cos(pi) + sin(pi) - (-pi2 cos(pi2) + sin(pi2))]
Simplificando os valores trigonométricos:
= 2[-pi (-1) + 0 - (0 + 1)] = 2[pi - 1] = 2pi - 2

Resposta

O valor da integral é 2pi - 2.

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