Calcule integral-infty^5(6 e^2 x+6x^2-4 x+13) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: .
Aqui, estamos lidando com duas funções diferentes dentro da integral: uma exponencial e uma função racional . Vamos precisar conhecer técnicas de integração para exponenciais e para frações que envolvem quadráticos no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a parte exponencial: integral 6 e^2x dx = 6 cdot 12 e^2x = 3 e^2x .
A regra básica para integrar é , onde é uma constante.
Então, integrando :

Passo 3

Agora, vamos integrar a parte racional: x^2 - 4x + 13 = (x^2 - 4x + 4) + 9 = (x - 2)^2 + 9 .
Primeiro, completamos o quadrado no denominador para facilitar a integração:
integral 6(x - 2)^2 + 9 dx
Então, a integral fica:
integral 6(x - 2)^2 + 9 dx = 6 cdot 13 arctan(x - 23) = 2 arctan(x - 23)
Sabemos que a integral de é , onde é uma constante.
Aplicando isso aqui, com e :

Passo 4

Agora, juntamos as duas integrais que calculamos:
integral (6 e^2x + 6x^2-4x+13) dx = 3 e^2x + 2 arctan(x - 23) + C

Passo 5

Finalmente, aplicamos os limites de integração de [3 e^2x + 2 arctan(x - 23)]-infty^5 a 3 e^10 + 2 arctan(5 - 23) = 3 e^10 + 2 arctan(1) = 3 e^10 + 2 cdot pi4 = 3 e^10 + pi2 :
3 e^2x to 0 (porque e^2x vai a 0)
Vamos calcular cada parte:
  1. Para 2 arctan(x - 23) to 2 cdot (-pi2) = -pi :
    (3 e^10 + pi2) - (0 - pi) = 3 e^10 + pi2 + pi = 3 e^10 + 3pi2
  2. Para :
Subtraindo, temos:

Resposta

O valor da integral é .

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