Um corpo se move em movimento retilíneo sobre o eixo 0x com aceleraçăo dada por
. Sua velocidade e posiçāo iniciais sāo, respectivamente, iguais a
e 10 m . Encontre as equações horárias da velocidade e da posiçāo deste corpo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento retilíneo! O enunciado fala sobre um corpo que se move ao longo do eixo 0x com uma aceleração que varia com o tempo. A gente precisa descobrir as equações que descrevem a velocidade e a posição desse corpo ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, como integração da aceleração para encontrar a velocidade e depois integrar a velocidade para encontrar a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação da velocidade. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Para voltar de aceleração para velocidade, precisamos integrar a função de aceleração. A equação da aceleração é:
Então, para encontrar a velocidade, integramos
em relação ao tempo:
Passo 3
Vamos resolver essa integral. Podemos fazer uma substituição para facilitar:
Se , então
ou
. Substituindo na integral:
Se
Voltando para
:
Agora, usamos a condição inicial da velocidade para encontrar
. Sabemos que quando
,
:
Então, a equação da velocidade é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a equação da posição. Sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo. Então:
Vamos separar as integrais:
Passo 5
Resolvendo as integrais:
Para a primeira parte, fazemos a substituição ,
, então
:
Para a primeira parte, fazemos a substituição
Para a segunda parte:
Juntando tudo:
Agora, usamos a condição inicial da posição. Sabemos que quando
,
:
Portanto, a equação da posição é:
Resposta
As equações horárias são:
e
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Calcule
.
Se
e
, quanto vale
?
(
pts) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
Dica: Se você derivou corretamente, é uma das raízes do polinômio no numerador.
Dica: Se você derivou corretamente,
- ( 0,5 pts) Pode-se mostrar que os coeficientes da parábola são determinados pelos limites abaixos. Calcule-os: