Um corpo se move em movimento retilíneo sobre o eixo 0x com aceleraçăo dada por . Sua velocidade e posiçāo iniciais sāo, respectivamente, iguais a e 10 m . Encontre as equações horárias da velocidade e da posiçāo deste corpo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento retilíneo! O enunciado fala sobre um corpo que se move ao longo do eixo 0x com uma aceleração que varia com o tempo. A gente precisa descobrir as equações que descrevem a velocidade e a posição desse corpo ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, como integração da aceleração para encontrar a velocidade e depois integrar a velocidade para encontrar a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da velocidade. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Para voltar de aceleração para velocidade, precisamos integrar a função de aceleração. A equação da aceleração é:
Então, para encontrar a velocidade, integramos em relação ao tempo:

Passo 3

Vamos resolver essa integral. Podemos fazer uma substituição para facilitar:
Se , então ou . Substituindo na integral:
Voltando para :
Agora, usamos a condição inicial da velocidade para encontrar . Sabemos que quando , :
Então, a equação da velocidade é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a equação da posição. Sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo. Então:
Vamos separar as integrais:

Passo 5

Resolvendo as integrais:
Para a primeira parte, fazemos a substituição , , então :
Para a segunda parte:
Juntando tudo:
Agora, usamos a condição inicial da posição. Sabemos que quando , :
Portanto, a equação da posição é:

Resposta

As equações horárias são:
e

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