Calcule a integral: $\int_{1}^{2}(1+2 y)^{2} d y

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de de 1 a 2. Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo Integral, especificamente na parte de integrais definidas e integração por substituição. Vamos precisar entender como expandir expressões algébricas e aplicar a regra básica da integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o termo . Isso significa multiplicar por ele mesmo:

Passo 3

Agora que temos a expressão expandida, podemos reescrever a integral:

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. Lembre-se que a integral de é :

Passo 5

Agora, somamos as integrais dos termos:

Passo 6

Vamos avaliar essa expressão nos limites de integração, ou seja, substituir por 2 e depois por 1, e subtrair os resultados:
Para :
Para :

Passo 7

Subtraindo os valores obtidos:

Resposta

O valor da integral é .

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