Demonstre a fórmula, onde
e
são inteiros positivos. $\int_{-\pi}^{\pi} \operatorname{sen} m x \operatorname{sen} n x d x=
Passo 1
Beleza, vamos ao que interessa! A gente tem que demonstrar que a integral de
de
a
é igual a 0 quando
é diferente de
e igual a
quando
é igual a
. Isso está relacionado ao conteúdo de funções trigonométricas e integrais. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar o produto de senos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante que transforma o produto de dois senos em uma soma. A identidade é:
Essa transformação vai facilitar a integração, porque integraremos funções de cosseno, que são mais fáceis de lidar.
Passo 3
Agora, vamos substituir a expressão original da integral pela identidade que acabamos de usar:
Isso simplifica nosso trabalho, mas ainda temos que resolver duas integrais de cosseno.
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente. Começando pelo primeiro:
E o segundo:
A integral de
de
a
depende se
é zero ou não.
Passo 5
Vamos resolver a primeira integral:
- Se
, então não é zero, e a integral de de a é zero, porque a função é ímpar sobre esse intervalo. - Se
, então , e . A integral de 1 de a é .
Passo 6
Agora, a segunda integral:
Independente de
e
,
sempre será diferente de zero (já que
e
são inteiros positivos). Assim, essa integral também será zero.
Passo 7
Voltando à nossa expressão original:
Se
:
Se
:
Resposta
Portanto,
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e
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