Demonstre a fórmula, onde e são inteiros positivos. $\int_{-\pi}^{\pi} \operatorname{sen} m x \operatorname{sen} n x d x=

Passo 1

Beleza, vamos ao que interessa! A gente tem que demonstrar que a integral de de a é igual a 0 quando é diferente de e igual a quando é igual a . Isso está relacionado ao conteúdo de funções trigonométricas e integrais. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar o produto de senos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante que transforma o produto de dois senos em uma soma. A identidade é:
Essa transformação vai facilitar a integração, porque integraremos funções de cosseno, que são mais fáceis de lidar.

Passo 3

Agora, vamos substituir a expressão original da integral pela identidade que acabamos de usar:
Isso simplifica nosso trabalho, mas ainda temos que resolver duas integrais de cosseno.

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. Começando pelo primeiro:
E o segundo:
A integral de de a depende se é zero ou não.

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral:
  • Se , então não é zero, e a integral de de a é zero, porque a função é ímpar sobre esse intervalo.
  • Se , então , e . A integral de 1 de a é .

Passo 6

Agora, a segunda integral:
Independente de e , sempre será diferente de zero (já que e são inteiros positivos). Assim, essa integral também será zero.

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
Se :
Se :

Resposta

Portanto,

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