Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int\left(x^{2}+2 x\right) \cos x d x
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de
em relação a
. Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente usando uma técnica chamada integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes uma ou mais vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
Essa fórmula é super útil quando a integral que temos é o produto de duas funções, como é o caso aqui.
Passo 3
Vamos identificar as partes
e
na nossa integral
. Geralmente, escolhemos
como a parte que fica mais simples ao derivarmos, e
como o restante.
Vamos escolher:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Então, agora temos uma nova integral para resolver:
Passo 5
Vamos aplicar integração por partes novamente na nova integral
.
Escolhemos:
Passo 6
Aplicando a fórmula novamente:
Substituindo:
Simplificando:
A integral
é
, então:
Passo 7
Voltando à expressão anterior:
Distribuindo o sinal negativo:
Podemos simplificar combinando os termos semelhantes:
Resposta
Portanto, a integral é:
onde
é a constante de integração.
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