Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int\left(x^{2}+2 x\right) \cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de em relação a . Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente usando uma técnica chamada integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes uma ou mais vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
Essa fórmula é super útil quando a integral que temos é o produto de duas funções, como é o caso aqui.

Passo 3

Vamos identificar as partes e na nossa integral . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples ao derivarmos, e como o restante.
Vamos escolher:

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Então, agora temos uma nova integral para resolver:

Passo 5

Vamos aplicar integração por partes novamente na nova integral .
Escolhemos:

Passo 6

Aplicando a fórmula novamente:
Substituindo:
Simplificando:
A integral é , então:

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
Distribuindo o sinal negativo:
Podemos simplificar combinando os termos semelhantes:

Resposta

Portanto, a integral é:
onde é a constante de integração.

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