Demonstre a fórmula, onde
e
são inteiros positivos. $\int_{-\pi}^{\pi} \cos m x \cos n x d x=
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar uma fórmula envolvendo uma integral de funções trigonométricas. Especificamente, queremos mostrar que:
Aqui,
e
são inteiros positivos. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e propriedades de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica útil para o produto de cosenos:
Essa identidade vai ajudar a simplificar a integral que temos.
Passo 3
Aplicando essa identidade à nossa integral:
Podemos fatorar o
:
Passo 4
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Lembrando que a integral de
de
a
é dada por:
Isso acontece porque, para
, o cosseno completa ciclos completos e se anula ao longo do intervalo simétrico.
Passo 5
Vamos analisar cada integral:
-
Primeira integral:
- Se
, então , e a integral vale 0. - Se
, então , e a integral é .
- Se
-
Segunda integral:
- Como
e são inteiros positivos, , então essa integral sempre vale 0.
- Como
Passo 6
Substituindo os resultados das integrais de volta na expressão original:
Resposta
Portanto, demonstramos que: