Demonstre a fórmula, onde e são inteiros positivos. $\int_{-\pi}^{\pi} \cos m x \cos n x d x=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar uma fórmula envolvendo uma integral de funções trigonométricas. Especificamente, queremos mostrar que:
Aqui, e são inteiros positivos. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e propriedades de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica útil para o produto de cosenos:
Essa identidade vai ajudar a simplificar a integral que temos.

Passo 3

Aplicando essa identidade à nossa integral:
Podemos fatorar o :

Passo 4

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Lembrando que a integral de de a é dada por:
Isso acontece porque, para , o cosseno completa ciclos completos e se anula ao longo do intervalo simétrico.

Passo 5

Vamos analisar cada integral:
  1. Primeira integral:
    • Se , então , e a integral vale 0.
    • Se , então , e a integral é .
  2. Segunda integral:
    • Como e são inteiros positivos, , então essa integral sempre vale 0.

Passo 6

Substituindo os resultados das integrais de volta na expressão original:

Resposta

Portanto, demonstramos que:

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Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int \frac{1}{x \sqrt{4 x+1}} d x
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Encontre a integral pedida. Calcule a integral: $\int \frac{1}{5-3 x} d x