Calcule a integral: $\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \frac{8}{1+x^{2}} d x

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular a integral definida de no intervalo de até raiz(3). Isso envolve o conteúdo de cálculo de integrais, especialmente a integral de funções que têm a forma 1/(1+x^2).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada (ou primitiva) da função . Sabemos que a integral de 1/(1+x^2) em relação a x é mais uma constante, ou seja:
Então, multiplicando por 8, a antiderivada de é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para avaliar a antiderivada nos limites de integração e subtrair os resultados. Ou seja, calculamos:

Passo 4

Precisamos saber os valores de e .
Sabemos que:
  • (porque )
  • (porque )
Substituindo esses valores:

Resposta

A integral vale 4 pi / 3.

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