É dado o gráfico de f. Calcule cada integral interpretando-a em termos das áreas. $\int_{0}^{2} f(x) d x
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de
de 0 a 2, ou seja,
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente da interpretação da integral como área sob a curva. Para resolver, vamos precisar entender como a função
se comporta entre
e
e calcular as áreas correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral definida
representa a área total entre a curva de
, o eixo
, e as linhas verticais
e
. Se a função está acima do eixo
nesse intervalo, a área é positiva; se está abaixo, a área é negativa.
Passo 3
Agora, olhando para o gráfico de
de
a
, vamos dividir esse intervalo em partes onde a função está acima ou abaixo do eixo
. Suponha que de
a
,
está acima do eixo
e forma uma área
. De
a
,
está abaixo do eixo
, formando uma área
.
Passo 4
Calculamos cada uma dessas áreas separadamente. A área
de
a
pode ser encontrada usando a fórmula da área de uma figura geométrica correspondente (por exemplo, retângulo, triângulo, etc.). Da mesma forma, calculamos a área
de
a
.
Passo 5
Depois de encontrar
e
, a integral total será a soma dessas áreas, considerando os sinais. Como
está acima do eixo
, ela é positiva, e
, estando abaixo, é negativa. Portanto, a integral será:
Resposta
A integral
corresponde à área total
entre 0 e 2.
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