Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int \frac{x{2}+1}{(x-3)(x-2){2}} d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar uma técnica chamada frações parciais, que ajuda a quebrar frações complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos decompor o denominador e encontrar termos mais simples que somados formam a fração original.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração como uma soma de frações menores. Sabendo que o denominador tem fatores e , nossa decomposição vai ter a forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 4

Vamos expandir e simplificar o lado direito:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:

Passo 6

Resolvendo esse sistema de equações:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Então, e .

Passo 7

Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a fração de volta:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 9

Calculando cada integral:
Aqui, é a constante de integração.

Resposta

A integral vale:

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