Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int \frac{x{2}+1}{(x-3)(x-2){2}} d x
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar uma técnica chamada frações parciais, que ajuda a quebrar frações complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos decompor o denominador e encontrar termos mais simples que somados formam a fração original.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração como uma soma de frações menores. Sabendo que o denominador tem fatores e , nossa decomposição vai ter a forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Passo 4
Vamos expandir e simplificar o lado direito:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Passo 6
Resolvendo esse sistema de equações:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Então, e .
Passo 7
Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a fração de volta: